SEMELHANÇA E ÁREA DE FIGURAS PLANAS COM GEOMETRIA DINÂMICA

Andreia Carvalho Maciel Barbosa - Colégio Pedro II, FFP/UERJ e UNESA - andreiamacielb@terra.com.br
Bruno Olímpio da Costa - Licenciando em Matemática FFP/UERJ - bruno.olimpio@yahoo.com.br
Cristina da Silva Possas - SEE-RJ - Especialização no IME UERJ - 
cris.possas@hotmail.com
Daniel Carvalho de Almeida Lima - Licenciando em Matemática FFP/ UERJ - 
Colégio GPI - daniel_uerjffp@hotmail.com

Texto 
A Matemática se vê atualmente em constantes modificações metodológicas, com o surgimento e ressurgimento de práticas pedagógicas que têm como finalidade facilitar e aprimorar o ensino-aprendizado. Em particular, os computadores estão incorporando-se em nossa vida atual, principalmente na vida das crianças e adolescentes que revelam uma habilidade especial em manusear a máquina. 
Para realizar a implementação da tecnologia no ambiente escolar passa-se por uma série de cuidados e questionamentos. Ao professor cabe avaliar a adequação do software aos conteúdos a serem abordados preocupando-se com “o como”, “o porquê” e “para que”, pois é um momento de tomada de decisão que não é neutra e representa uma opção por um modelo educacional.
Especificamente no ensino da Geometria constata-se a necessidade de explorar a visualização do aluno e as articulações de propriedades geométricas feitas em situações diversificadas. A percepção e a representação particular do aluno fazem com que ele construa significado para um determinado conceito geométrico. A partir da visualização podem-se levantar conjecturas, explorar o caráter de investigação conduzindo a generalização de propriedades e elaborando processos de justificativa na resolução de problemas.
Nesta oficina apresentaremos atividades que abordam semelhança e área de figuras planas utilizando o Cabri Géomètre, um software de geometria dinâmica. A proposta inclui apresentar as possibilidades de trabalho no software reproduzindo o ambiente de sala de aula, suas dificuldades e características. As atividades elaboradas visam à compreensão da geometria como um sistema dedutivo e aplicação desse conhecimento na resolução de problemas, utilizando o software para estabelecer os conceitos de semelhança e área das figuras planas.
O enfoque adotado nesse trabalho baseia-se fortemente nas metodologias e atividades discutidas por um grupo de alunos e professores da Faculdade de Formação de Professores da UERJ desde o ano de 2005. Naquele momento percebemos que a prática da Geometria Dinâmica ainda não está incorporada na sala de aula. A partir deste trabalho, elaboramos atividades de exploração e investigação geométrica fazendo um recorte no estudo de semelhança e área. O uso do software é enriquecedor nesse estudo por sua perspectiva dinâmica, que permite a vivência dos resultados das operações a partir do movimento. 
A escolha de um software de geometria dinâmica como o Cabri Géomètre, além do reconhecimento das possibilidades de trabalho com o mesmo, levou em conta os questionamentos. Caracterizado como um micromundo. É um software de construção que nos oferece “régua e compasso eletrônicos” Pode ser considerado um software de fácil manuseio que deixa os professores e alunos bastantes à vontade para sua utilização.
A resolução de problemas é uma metodologia que proporciona um processo ativo, construtivo e crescente. A aprendizagem é um processo sempre em construção e em movimento, que ocorre junto com as características do meio. A maneira como o processo de aprendizagem e suas etapas são desenvolvidos, depende do ambiente onde está inserido. Os softwares de geometria dinâmica são favoráveis para o desenvolvimento de trabalhos nessa metodologia.
A atmosfera gerada pela Geometria Dinâmica é importante, fornecendo a possibilidade de construção de situações em que se estimule a justificativa do aluno; além disso, esses softwares possibilitam que o aluno experimente situações diversificadas por diferentes processos.
O Cabri Géomètre II é um exemplo de um software de geometria dinâmica e possibilita um tratamento dinâmico da Geometria através da movimentação e de simulações de determinadas situações, que não poderiam ser exploradas com lápis e papel, permite gerar atividades cognitivas diferenciadas.
Os movimentos preservam as propriedades geométricas usadas na construção dos desenhos. São inúmeras possibilidades de trabalhar os conceitos da Geometria, além de algumas propriedades. A possibilidade de movimento cria, naturalmente, um ambiente intrigante de investigação.
O caráter dinâmico dos softwares como o Cabri Géomètre, gera algumas vantagens para o ensino, como a de acelerar o tempo de muitas construções, encorajar a tentativa e erro, e possibilitar as construções de figuras geométricas mais trabalhosas. Permite também, depois de promovido domínio suficiente do software, tirar o foco do estudo dos processos de construção geométrica possibilitando aos professores trabalhar com objetos iniciais definidos e macros. Além disso, o aluno pode esconder, pontilhar, engrossar e alterar cores de linhas, realçando elementos do desenho.
Quando saímos da construção no papel ou no quadro negro para a representação através do software, mudamos de um referencial estático para um referencial dinâmico, pois ocorre uma mudança de perspectiva. Com a visualização, a movimentação e a mudança de perspectiva permitida com o uso do Cabri Géomètre II, temos a possibilidade de representar um novo panorama. Isso possibilita explorar figuras geométricas em várias posições, para que o aluno caminhe a uma representação de um protótipo próprio.
Em geral, professores e alunos têm visões muito diferentes de um mesmo conceito matemático, gerando discrepâncias grandes entre o que o professor espera que o aluno aprenda e o que ele está realmente aprendendo. (Souza, 1998) 
É importante destacar que, como os procedimentos não são "fechados", aparecem diversas soluções além daquela pensada pelo professor. A partir do momento que os alunos podem criar, eles inúmeras vezes superam nossas expectativas.
Nasser (1991) aponta a visualização como uma forma de guiar os alunos no processo de dedução, descobrindo a existência de regras e questionando sua veracidade. Nesse contexto, a atmosfera gerada pela Geometria Dinâmica é importante, fornecendo a possibilidade de construção de situações em que se estimule a exploração e a justificativa do aluno.
O professor, que deve estar atualizado e preparado tanto em relação ao conteúdo quanto em relação ao programa, muitas vezes se surpreende com a facilidade que os alunos têm de aprender novos recursos ao explorar o programa.
Focando agora nas atividades desenvolvidas, estas atividades foram aplicadas com alunos da rede pública de São Gonçalo em cursos de aprofundamento oferecidos na UERJ. Pretendemos durante a oficina, além de relatar todas as etapas de atividades realizadas com alunos, discutir a abordagem desenvolvida sobre semelhança e área de figuras planas com o uso do software como recurso pedagógico.
Um dos objetivos da geometria na Educação Básica é conduzir os alunos a terem uma leitura geométrica dos desenhos. O computador pode contribuir para que o aluno desenvolva essa leitura e amplie a exploração geométrica. Uma das idéias é dar um acesso com possibilidades de cálculo e representações do computador ao conjunto de desenhos representando à mesma figura. Esse acesso é feito de forma relevante através da geometria dinâmica.
A característica dinâmica aparece pela possibilidade de se passar de um desenho a um outro pelo deslocamento quase contínuo dos objetos com "graus de liberdade". Os objetos com "graus de liberdade" são os objetos não completamente definidos pelas especificações.
Na investigação de um conceito ou na resolução de um problema, o movimento permite que exploremos, em uma mesma situação, diversos aspectos, tamanhos e posições, explicitando propriedades e características, podendo levar a conjecturas sobre propriedades e soluções para o problema.
As atividades realizadas são fortemente respaldadas pela metodologia de resolução de problemas e buscam integrar dois objetivos principais: estimular os alunos a fazer suas próprias observações, possibilitada pela visualização e recursos disponíveis no software, e despertar a busca de generalizações matemáticas. O trabalho realizado na oficina pode ser usado com os alunos dos Ensinos Fundamental e Médio.
O primeiro momento do minicurso é reservado para a livre exploração do Cabri Géomètre, pelos participantes. De nossa experiência com a geometria dinâmica, concluímos que essa livre exploração é muito mais significativa que a apresentação dos comandos ou de telas pré-elaboradas, pois as descobertas individuais geram maior motivação na manipulação do software.
O ambiente permite que as propriedades geométricas da figura aparecem com a movimentação da construção. A percepção age sobre as características das construções geométricas e as propriedades geométricas aparecem como invariantes durante o deslocamento dos elementos básicos.
Ao final dessa fase, estando os participantes já um pouco familiarizados com o Cabri Géomètre, faz-se necessário definir termos: desenho, figuras geométricas e objetos geométricos:
O desenho da figura ou simplesmente desenho é entendido como qualquer representação de um ente geométrico. Figura Geométrica é um conjunto de pontos no plano. É um conjunto de elementos geométricos ligados por relações e propriedades e, finalmente, Objeto Geométrico designa a figura que corresponde à classe definida por uma determinada figura geométrica.
Sangiacomo (1996) apud em Barbosa (2001)

Um triângulo construído no Cabri Géomètre pode ter seus lados “esticados”, seus vértices deslocados e, na realidade, representa o conjunto de todos os triângulos contidos no plano, ou a "classe dos triângulos". A palavra "classe" é sinônima de conjunto, mas é tradicionalmente usada para evitar a expressão carregada "conjunto de conjuntos". 
Quando saímos da construção no papel ou no quadro negro para a representação através do software, mudamos de um referencial estático para um referencial dinâmico, pois ocorre uma mudança de perspectiva. Com a visualização, a movimentação e a mudança de perspectiva permitida com o uso do software temos a possibilidade de explorar figuras geométricas em várias posições e, assim, fornecer o instrumental necessário às construções para a resolução de problemas.
O segundo momento do minicurso é dedicado às construções geométricas básicas necessárias para o desenvolvimento da oficina. Nessa oportunidade, os participantes serão solicitados a construir retas paralelas e perpendiculares, segmentos de reta, encontrar pontos de intersecção, criar círculos e polígonos. 
Finalmente, o terceiro momento da oficina é a exploração de semelhança e área de figuras planas. Apresentaremos um conjunto de dez atividades envolvendo os temas. A idéia é que a manipulação do software os participantes possam vivenciar a geometria e perceber as relações. Depois de explorar a percepção vamos buscar a dedução analítica da atividade.
Um exemplo de atividade desenvolvida explora a relação de áreas entre duas figuras. Primeiro pedimos para que construam um quadrado ABCD de lado qualquer. Depois a construção de um ponto M, ponto médio do segmento e um ponto P, qualquer no segmento  e por fim o triângulo APM. Os participantes vão obter uma construção representada na figura abaixo.

Após a construção, pedimos para que o participante, através da manipulação do software, investigue as relações entre as medidas das áreas do triângulo AMP e do quadrado ABCD. Sugerimos que os participantes utilizem recursos do software, como a calculadora e por fim, pedimos para que eles mostrem o porquê dessa relação ocorrer.
Nessa perspectiva, a estrutura das atividades pede que os participantes construam figuras planas, calculem área dessas figuras e observem na tela as modificações que podemos fazer com essas figuras. A relação numérica entre as áreas e semelhança dessas figuras também podem ser observadas, usando recursos do Cabri Géomètre. Por fim, caminhamos para a justificativa.
Acreditamos que ao final do minicurso, os participantes terão uma nova vivência de semelhança e área de figuras planas e a certeza de que um software de geometria dinâmica como o Cabri Géomètre ou outros softwares podem ser uma ferramenta de grande valia para o aprendizado de seus alunos.
A proposta é apresentar as possibilidades de trabalho no software reproduzindo o ambiente de sala de aula, suas dificuldades e características. Em todas as atividades há a interação entre computador e anotações de justificativas. A dinâmica de apresentação do software é a partir da auto descoberta, que depois serão socializados com o grupo.
Muitos professores acreditam que saber Matemática significa saber fazer cálculos com rapidez, saber aplicar fórmulas, saber resolver problemas de mesmo modelo, que um problema tem solução única e está associado aos conteúdos do capítulo estudado e que o objetivo de um problema é encontrar a resposta certa. O único contato que o aluno tem com a matemática é feito dessa maneira e não é dada a oportunidade de um contato diferente do tecnicismo presente na maioria dos livros didáticos. 
Esse ciclo acaba trazendo ao processo de aprendizagem em matemática um quadro de fracasso escolar, onde se o aprendiz não atingir determinado resultado mínimo esperado, ele não se esforçou o bastante. Há de se considerar que aprender matemática não é mecanizar, e sim compreender.
Existe uma forte tendência por parte de alunos e professores em reproduzir o modelo de ensino ao qual foram submetidos. Acreditamos que, à medida que tomam conhecimento de novas metodologias, surge à vontade de aplicá-las. É importante que o professor da Educação Básica busque se atualizar e utilize seus conhecimentos em benefício do aluno. 
Nessa perspectiva se insere nossa proposta, que busca estudar o tema proposto áreas, para além de simples aplicação de fórmulas e apresentar o desenvolvimento de atividades desse conteúdo aliado ao uso de software de geometria dinâmica. Além disso, o trabalho discute o uso de tecnologias, no caso, software de geometria dinâmica como parte integrante da prática educativa.
A implementação de metodologias de ensino no trabalho de sala de aula traduz um grande desafio ao professor que, ao construir propostas de trabalho adequadas à realidade do aluno, está inserindo-o em uma nova maneira de pensar a matemática não restrita a aplicação de procedimentos. Nessa direção, buscamos contribuir como ensino da matemática.

Referências Bibliográficas Obs: A bibliografia também está certinha!!!
ALMEIDA, F. J. de. Educação e Informática. Os Computadores na Escola. São Paulo, Cortez, 1987.
ALMEIDA, Maria Elisabeth de. Informática e Formação de Professores. Brasilia, Proinfo, 2000.
ANDRADE, Pedro Ferreira. Modelo Brasileiro de Informática e Educação. Terceiro congresso Ibero-americano de Informática Educativa. Barranquilla. Colômbia. Julho, 1996. Anais.
BORBA, Marcelo de Carvalho e PENTEADO Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática.Belo Horizonte: Autentica, 2003.
BARBOSA, Andreia C. M.; Investigando e Justificando Problemas Geométricos com o Cabri Géomètre II. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática apresentada na USU. Rio de Janeiro, 2001.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blüncher Editora, 1974.
Brasil.Mec.Sentec. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, 1998.
CARTER, K. (1993). The place of story in the study of teaching and teacher education. Educational Researcher, Vol. 22, Nº 1.
CARAÇA, B. J. (1958). Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Sá da Costa. 
ERNEST, Paul. Resolução de Problemas e Pedagogia. In Abrantes (org.): Investigar para Aprender Matemática. Lisboa, 1996.
GARNICA, Antônio Vicente e FERNANDES, Dea Nunes. Concepções do Professor de Matemática: Contribuições para um Referencial Teórico. Rio de Janeiro, Boletim GEPEM nº 40, 2002.
MASON, John. O “quê”, “o porquê” e o “como” em Matemática. In Abrantes (org.): Investigar para Aprender Matemática. Lisboa, 1996a. 
MASON, John. Resolução de Problemas no reino Unido: Problemas abertos, Fechados e Exploratórios. In Abrantes (org.): Investigar para Aprender Matemática. Lisboa, 1996b.
NASSER, L. O Desenvolvimento do Raciocínio em Geometria. Boletim do GEPEM, 27, pp. 93-99, 1991.
PALIS, G. R. Uso de Computadores e o Papel do Professor. RPM, v.41, 1999.
PAPERT. The Children’s machine. New York: Basic Books, Traduzido para o português como, A Máquina das Crianças: repensando a escola na Era da Informática. Trad. Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas: Um Novo Aspecto do Método Matemático. Rio de Janeiro, Interciência, 1995.
SAMPAIO, Marisa Narcizo.  A Alfabetização Tecnológica do Professor: a busca de um conceito. Dissertação de Mestrado apresentada a COPPE, Programa de Engenharia de Sistemas e Computação UFRJ, 1996.
SANTORO, Flavia Maria. Jogos Educacionais e Hipermídia: Um estudo dos casos dos Impactos na aprendizagem. Dissertação de Mestrado apresentada a COPPE, Programa de Engenharia de Sistemas e Computação UFRJ, 1996.
SHOENFELD, Alan H. Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition and Sense-Making in Mathematics. USA, Universidade da California, 1990.
SOUZA, Fernanda Cristina A. G. de. Geometria Dinâmica: Um Estudo. Dissertação de Mestrado apresentada a COPPE, Programa de Engenharia de Sistemas e Computação UFRJ. Rio de Janeiro, 1998.
USISKIN, Zalman. Resolvendo os dilemas Permanentes da Geometria Escolar. In Lindquist e Shulte (org.): Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo, Atual, 1994.
VALENTE, José Armando. Diferentes Usos do Computador na Educação. Em Aberto, Brasília, ano 12, (57), 3-17, jan/mar. 1993.