A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
NA FORMAÇÃO DO CIDADÃO

Marcelo Torraca – SEE/RJ e Colégio Realengo
Lilian Nasser – CETIQT/SENAI
João Paulo G. Vassallo - FEVRE
 José Alexandre R. Pereira – SME e SEE/RJ
Márcio Luís da Silva – licenciando IM/UFRJ

Equipe do Projeto Fundão - IM/UFRJ
pfundao@im.ufrj.br
		
I - Introdução
Constantemente o cidadão se depara com diversas opções de pagamento, seja para adquirir um bem ou para pagar suas contas e impostos. Como decidir qual a melhor maneira de efetuar o pagamento: à vista ou a prazo? A resposta a essa pergunta depende de diversos fatores: a taxa de juros cobrada, o número de prestações, a data dos pagamentos e a taxa de atratividade, isto é, a taxa com a qual se consegue fazer render o dinheiro.  Por isso, a introdução ao estudo da Matemática Financeira é importante a partir do Ensino Fundamental e principalmente no Ensino Médio: para desenvolver no aluno a habilidade de analisar criticamente as situações financeiras que se apresentam no seu dia-a-dia.
O principal objetivo deste mini-curso é fornecer ao professor do Ensino Médio e aos licenciandos material de Matemática Financeira adequado, que desperte no aluno o interesse pelo tema e que o prepare para exercer a cidadania criticamente e analisar situações financeiras do seu cotidiano. 
Um levantamento bibliográfico constatou que praticamente não existe pesquisa sobre a aprendizagem de Matemática Financeira.  A maioria dos livros didáticos aborda o tema de forma tradicional, por meio da aplicação de fórmulas. Poucos relacionam o tema com o estudo de funções ou de progressões aritméticas ou geométricas e também não problematizam situações do cotidiano. Há ainda, no mercado, diversos livros de Matemática Financeira destinados à preparação para concursos, que são inadequados para o Ensino Médio.
Nossa proposta é uma abordagem visual e prática para o tema, levando em conta os princípios básicos da Matemática Financeira: o uso da taxa de porcentagem como fator e o deslocamento de quantias no tempo. O aspecto visual da abordagem é alcançado por meio do eixo de setas e o prático, pela exploração de situações reais que se apresentam no dia-a-dia dos investimentos e das vendas a prazo.  As atividades do mini-curso procuram reproduzir, numa linguagem acessível ao aluno, situações reais do seu cotidiano. Por exemplo, calcular taxas de aumentos ou descontos sucessivos, comparar aplicações a juros simples e compostos durante períodos variados, decidir se a melhor maneira de pagar suas cotas de IPTU, IPVA, etc. é à vista com desconto ou a prazo. Além disso, pretende-se desenvolver no aluno habilidades para analisar as “vantagens” oferecidas por financeiras para empréstimos e identificar qual a taxa de juros embutida em ofertas anunciadas no comércio, aparentemente vantajosas. 
O uso da calculadora é incentivado, pois em algumas situações os cálculos não são simples.  Mesmo uma calculadora simples pode ser útil, se forem usados artifícios adequados para efetuar os cálculos pretendidos.

A título de motivação, são propostos problemas práticos, com o objetivo despertar no aluno a curiosidade para a resolução de problemas envolvendo a Matemática Financeira. A situação relatada no artigo de jornal a seguir retrata uma oferta muito comum, anunciada na mídia como: “preço à vista igual ao preço a prazo sem juros”.  Na verdade, considerando que o valor do dinheiro varia em função do tempo, esta proposta é enganosa, pois, dependendo da taxa a que se consegue investir o dinheiro, o preço à vista deve ter sempre um desconto em relação ao montante pago ao final do financiamento.

Extrato de um artigo do jornal Diário do Vale, de Volta Redonda, RJ, em junho/2006:

Preço à vista e preço a prazo
                                                                              Pedro Alves de Souza
     Um amigo me telefonou de dentro de uma loja onde estava comprando uma TV para assistir à Copa para perguntar se preço à vista deveria mesmo ser igual a preço a prazo. Mantendo minha convicção, respondi que não e expliquei que no preço a prazo sempre estará embutido o custo do financiamento, que no Brasil é elevado e por isso pesa muito no preço final do produto. Assim, por lógica, o preço à vista será sempre menor do que o preço a prazo. Mas mostrando-se irritado, meu amigo sugeriu que eu “desse essa aula” para o vendedor daquela loja, que insistia em afirmar-lhe que ali preço a vista era igual a preço parcelado, e não teria acordo.
    Parece brincadeira, mas não é.
...............................................................................................................
    E o pior é que quem insiste em afirmar que preço a vista é igual a preço a prazo mente descaradamente para os consumidores a fim de vender (enganosamente) dois produtos em lugar de somente um. Concretamente, junto com a tevê para assistir à Copa, meu amigo estava sendo forçado a contratar um crédito oneroso disfarçado de gratuito, uma vez que não tem como no preço da tevê financiada não estarem embutidos juros e outros encargos, como é a regra natural de todo financiamento.
   Vamos a um exemplo: com juros médios de 4% ao mês, quando o consumidor compra uma TV de 29 polegadas por R$ 1 mil, para pagar em 12 vezes “sem juros”, poderia pagar pelo mesmo produto apenas R$ 782,05, se o preço fosse à vista.
   Parece evidente que o comerciante, anunciando que não há juros em determinada venda a prazo, na verdade iguala preço à vista a preço a prazo, dissimulando a cobrança de encargo e, obviamente, cometendo dois delitos: o da publicidade enganosa e o da prática comercial abusiva.
    Com a palavra, nossos Procons!

Perguntas para discussão:
- Você concorda com a idéia do jornalista?
- Você sabe como ele chegou ao valor justo de R$782,05 para a compra à vista?
- Quais as variáveis envolvidas nesse cálculo?

Discuta com os colegas do grupo a resolução dos seguintes problemas:
1)	Comprei um forno de microondas em 3 prestações iguais de R$120,00.
Qual o preço total do forno?

2)	Uma categoria de trabalhadores recebeu um dissídio coletivo de 10%, mas já havia recebido uma antecipação de 4%. Qual o percentual recebido na data do dissídio, descontando a antecipação?

3)	Num financiamento, qual o tipo de juros que é mais vantajoso para uma financeira: simples ou compostos?  Isso vale sempre?

4) Um artigo teve um aumento de 3%. Sabendo que a inflação no período foi de 0,2%, determine a taxa real de aumento.

Estes problemas serão resolvidos no final do mini-curso.

II – PORCENTAGEM COMO FATOR
No ensino de porcentagem é recomendável acostumar o aluno a usar a notação decimal, já que alguns exercícios podem ser resolvidos mais facilmente com essa notação. 

Por exemplo, para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de 15%, basta multiplicar o preço original  P por 1,15, já que:

                                  P + 15% de P = P + 0,15 P = 1,15 P.

No caso de um desconto de 20%, por exemplo, o novo preço é obtido por meio de uma única operação, de multiplicação pelo fator 1 – i = 1 – 0,2 = 0,8.

De modo geral, para calcular o valor após um aumento de uma taxa i (na notação decimal), basta multiplicar o valor original por (1 + i), e no caso de um desconto, multiplica-se por (1 – i).

O uso da porcentagem como fator é também mais adequado ao uso da calculadora na resolução dos problemas, o que é recomendado, inclusive pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Para calcular um valor depois de acréscimos ou descontos sucessivos, a notação decimal deve ser usada para multiplicar (e não para somar) as taxas.

Exercícios:

1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. 
     a) Um apartamento foi vendido por R$62.400,00.  Determine a comissão recebida pelo corretor.

     b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor.  Determine o valor da comissão.                                                                        (UFRJ) 

2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?

3) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários?
4)	Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$460,00. 
     Qual era o preço do aparelho antes do aumento? 

5)	A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$ 350,00.  
     Qual o percentual de aumento?

6) A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado. 
                                                                                                                               (UFRJ-1993)

7) 
O trabalhador brasileiro, de acordo com o salário recebido mês a mês, está sujeito a uma “mordida do leão”, conforme tabela a seguir:

Valores do IR – FONTE	Alíquota	Parcela a deduzir	
Até R$1 313,69	Isento	         -	
De R$ 1 313,70 a R 2 625,12	15%	R$ 197,05	
Acima de R$2 625,13	27,5%	R$ 525,19	
Para calcular o imposto:
1º) Tome o salário bruto mensal e subtraia o valor das deduções permitidas: 
a) R$132,05 por dependentes; b) dedução especial de R$1.313,69 para aposentados, pensionistas e transferidos para a reserva remunerada com 65 anos ou mais; c) contribuição mensal à Previdência Social d) pensão alimentícia paga devido a acordo ou sentença judicial. 
2º) Multiplique o resultado por 0,15 (alíquota de 15%) ou 0,275  (alíquota de 27,5%) e deduza a parcela correspondente à faixa. 
Fonte: Secretaria da Receita Federal

De acordo com esses dados, determine:
a) O imposto a pagar por um trabalhador com 30 anos, 3 dependentes, renda mensal de R$2.800,00. Considere que ele não pague pensão alimentícia, não é aposentado/pensionista e o desconto previdenciário seja de 11%. 

b) Analisando a tabela do imposto de renda acima, você pode observar a existência de parcelas a serem deduzidas em cada faixa. Você seria capaz de justificar o valor dessas parcelas?

8) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos sucessivos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores à data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários?

III – O EIXO DAS SETAS

É um esquema gráfico formado por um eixo horizontal, que representa a linha do tempo, e setas verticais que indicam os valores em cada data. Entre uma seta e a seguinte são colocadas setas horizontais, indicando o fator multiplicado: (1 + i) ou (1 – i).

Como exemplo, observe como o eixo das setas facilita a resolução do último problema proposto:

   x 1,055        x 1,067           x (1+i)

x  1,255  

	

Nossas experiências com alunos do Ensino Médio mostram que inicialmente eles resistem ao uso do eixo das setas, preferindo resolver os problemas por regra de três. Mas, ao chegar aos problemas em que é preciso igualar quantias no tempo e usar juros compostos, eles rapidamente partem para o uso do eixo das setas, pela facilidade de visualização.  Por isso, é aconselhável acostumá-los com a resolução por meio do eixo das setas desde o início, dos problemas de porcentagem e de aumentos ou descontos sucessivos.

IV- JUROS

Os juros podem ser simples ou compostos. Nos juros simples, em cada período a taxa incide sobre o capital inicial, tornando o acréscimo constante e nos juros compostos, a cada período os juros são calculados sobre o montante no início desse período.  Na prática, os juros usados pelas instituições financeiras são geralmente compostos.

Por exemplo, se um capital de R$100,00 é aplicado por um período de 3 meses, com acréscimo constante de R$10,00 por mês, a situação é representada por:

    100,00                 110,00                120,00               130,00

0                          1                        2                           3
       +10,00                 +10,00                 +10,00  

Juros Simples

0           1          2         3                  t

R$

130

120

110

100

O exemplo representado acima, no eixo das setas, é um exemplo de juros simples, já que a cada mês foram acrescentados juros de 10% do capital inicial. Isto é, a cada período o valor é acrescido de 0,1.C0.

C0 = 100  
C1 = 110 = C0 + 1 (C0 . 0,1)			
C2 = 120 = C0 + 2 (C0 . 0,1)	
C3 = 130 = C0 + 3 (C0 . 0,1)	

Cn = C0 + n (C0 . 0,1) = C0. (1+ n 0,1)
A situação fica assim representada no eixo das setas:

       C0                 C1                   C2                    C3

   0                         1                         2                           3
            +C0 i               +C0 i           +C0 i

+ 3.C0 i

      Cn =  C0  . (1+ n i )

    Os valores obtidos em cada período formam uma Progressão Aritmética com primeiro termo C0, razão  C0.i  e com (n + 1) termos.  O gráfico que dá esses valores em função do tempo é representado por pontos colineares. Isso indica que  o ensino de Matemática Financeira deve ser ligado ao ensino de progressões e ao estudo de funções lineares e afins.
Exercícios:
1)	Pedro investiu R$ 2200,00 em um fundo de investimento durante um ano, a juros simples, com taxa de rendimento mensal de 4%. Qual o valor que deve ser resgatado no final desse período?

2)	Qual o valor principal de uma aplicação, a juros simples, com prazo de 8 meses e taxa de 1,5% ao mês cujo valor final atingiu R$ 3 800,00 ?

3)	Qual a taxa mensal de juros simples de um investimento de R$2 500,00 pelo prazo de 4 meses cujo montante atingiu R$ 3 000,00?  E qual a taxa do período?

Juros compostos
No regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o saldo, que passará, então, a render novos juros.  Juros compostos são também chamados de juros sobre juros.
Imagine, por exemplo, que um capital de R$100,00 é aplicado por um período de 3 meses, a juros compostos de 10% ao mês. Nesse caso:
C0 = 100        
C1 = 100 + 0,1 .100 = C0 + (C0 . 0,1)	= C0 ( 1 + i ) = 110		
C2 = 110 + 0,1 . 110 = C1 +  (C1 . 0,1) = C1 (1 + i ) = C0 ( 1 + i )2	= 121	
C3 =  121 + 0,1 . 121 = C2 + (C2 . 0,1) = C2 (1 + i ) = C0 ( 1 + i )3	=  133,10	

        Cn = C0 . (1 + i ) n

Observe que os valores obtidos a cada período formam uma Progressão Geométrica, cujo primeiro termo é C0  , a razão é (1 + i), com (n + 1) termos.

No eixo das setas, a situação fica representada como segue e o gráfico que representa a quantia obtida em função do tempo de aplicação em juros compostos cresce de forma exponencial:

C0

t

R$

       C0                 C1                   C2                    C3

0                      1                     2                        3
            . (1+i)                 . (1+i)               . (1+i) 

      . (1+i)3

A partir dessas representações, fica claro porque sugerimos que o estudo de Matemática Financeira seja sempre associado ao estudo das progressões, e das funções exponenciais, além das funções de 1º grau já mencionadas.

Exercícios:
1)	Marta tomou um empréstimo de R$ 200,00 a juros compostos de 12% ao mês. Qual será a dívida de Marta 4 meses depois?

2)	Qual a inflação anual equivalente a uma inflação mensal de 3% ?

3)	 Tico e Teco são irmãos. Tico recebeu uma gratificação de R$1 000,00, que investiu à taxa de juros de 3,5% ao mês. Na mesma data, Teco solicitou um empréstimo da mesma quantia a uma financeira, com juros de 8% ao mês e prazo de vencimento de 90 dias.
a)	Qual o montante do investimento de Tico ao fim de 3 meses?
b)	Qual a dívida de Teco no vencimento do empréstimo?
c)	Quanto Teco teria economizado se o irmão lhe emprestasse o dinheiro nas mesmas condições do investimento?

4)	João aplicou R$1 200,00 numa caderneta de poupança. No primeiro mês a taxa de juros foi de 0,4%, no segundo foi de 0,5% e no terceiro foi de 0,3%.
Represente essa situação no “eixo das setas”, e calcule o rendimento total de João ao final desse período.  Qual a taxa no período?

5)  Um banco paga o montante de R$2 500,00 a quem aplicar em um de seus títulos durante 6 meses. Sabendo que a taxa de juros é de 3% a. m., qual o valor do capital necessário neste investimento?

6)  Ana investiu R$1 000,00 a juros compostos pelo período de três meses, e resgatou a quantia de R$ 1 728,00. Qual foi a taxa mensal de juros?
V- O valor do dinheiro
Para determinar a melhor forma de pagamento, à vista ou a prazo, a que é mais vantajosa, temos que equiparar os valores numa mesma época. Estas decisões dependem de quanto a pessoa consegue fazer render o dinheiro, que é a “taxa mínima de atratividade”.

Por exemplo, se a caderneta de poupança rende 2% ao mês, a quantia de R$100,00 hoje valerá R$102,00 daqui a um mês, R$104,04 daqui a 2 meses, R$ 106,12 daqui a 3 meses.
Não se pode comparar quantias em datas diferentes, mas apenas aquelas que se referem à mesma época.
Se o valor atual é representado por A, o valor futuro F, depois de n períodos de aplicação a uma taxa i, é dado por:  F = A (1 + i) n.
Assim:
 Para obter o valor futuro, basta multiplicar o valor atual por (1 + i) n.
 Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i) n.

Exemplo:
Um aparelho de DVD está anunciado em duas opções de pagamento: 3 prestações mensais de R$180,00 cada, ou em 6 prestações mensais de R$100,00, ambos com entrada.
Qual é a opção mais vantajosa, se posso fazer render meu dinheiro a uma taxa de 5% ao mês?

Vamos representar os pagamentos no eixo das setas:

  0               1               2               3               4               5

     100          100           100          100           100           100

0               1              2

   180      180         180

Para resolver o problema, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo, na época 2.  

Na 1ª opção: 
V = 180 (1+0,05)2 + 180 (1 + 0,05) + 180 = 180 x 1,1025 + 180 x 1,05 + 180 = 
            = 198,45 + 189,00 + 180,00 = 567,05
Na 2ª opção:

    = 110,25 + 105,00 + 100,00 + 95,24 + 90,70 + 86,38 = 587,57

Portanto, o valor em 3 prestações é menor.
O problema também poderia ter sido resolvido equiparando os valores na época 0.
Repita o mesmo exercício supondo que é possível aplicar o dinheiro a 10% ao mês. 
A opção 1 continua sendo a melhor?	

Resolução dos problemas propostos no início:
Problema do jornal para encontrar o valor do preço à vista da TV:
Preço de cada prestação sem juros: 1.000,00 : 12 = 83,33.

Transferindo o valor das prestações (sem entrada) para a data inicial com taxa de 4% ao mês, e usando a fórmula da soma dos termos de uma P.G.:

Logo, o preço da TV à vista deveria ser de R$ 782,05, o que equivale a um desconto aproximado de 21,8%.

Resolução dos demais problemas propostos:

1)	Para resolver esse problema é preciso saber a taxa de atratividade, isto é, qual a taxa a que se consegue investir o dinheiro.

2)	1,10 = 1,04 x (1 + i)   →     1 + i = 1,10  1,04 = 1,0577
     Logo, o segundo aumento será de 5,77 %.
3)	
1

Depende do tempo de aplicação. Quando o tempo
é inferior a uma unidade de tempo (expressa na taxa), 
juros simples rendem mais que juros compostos. 
Para qualquer tempo de aplicação maior que uma 
unidade de tempo, juros compostos rendem mais 
que juros simples.  Observe os gráficos:

4) Com a inflação de 0,2%, o dinheiro passa a valer 99,8%
    Com o aumento de 3%, um artigo que custava x passará a custar 1,03 x.

         0,998 x . (1 + i) = 1,03 x

        1 + i = 1,0320641

        i = 0,0320641   ou   3,20641%

Exercícios:
1)	O juro do cheque especial é de 12% ao mês.  Se Vanda ficar com um saldo negativo de R$120,00 durante um mês, quanto terá de pagar?

2)	Pedro prometeu pagar a João R$ 200 reais no dia 1º de setembro. Mas, um mês antes, no dia 1º de agosto, resolveu saldar sua dívida. Se o combinado tinha sido um juro de 6% ao mês, quanto Pedro deverá pagar?  

3)	Bia pegou um empréstimo de R$300,00 a juros mensais de 15%. Dois meses depois, Bia pagou R$150,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito.
     Qual o valor desse último pagamento?

4)	Uma loja oferece duas opções de pagamento:
a)	À vista, com 30% de desconto;
b)	Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga de entrada.
Qual a taxa mensal de juros embutidos nas vendas a prazo?

5)	Um aparelho de TV, cujo preço à vista é de R$1 200,00, é vendido em 4 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 9% ao mês, determine o valor das prestações.

6)	Jussara deveria efetuar seis pagamentos mensais sucessivos, de R$150,00 cada. Renegociou a dívida, para efetuar apenas dois pagamentos iguais, nas épocas do segundo e do quinto pagamentos. Se a taxa de juros é de 10% ao mês, qual o valor desses novos pagamentos?

VI- COMENTÁRIOS FINAIS
O tópico de Matemática Financeira faz parte dos currículos do Ensino Médio de diversos estados.  Atualmente, pode ser considerado o tópico que mais desperta o interesse dos alunos, principalmente os dos cursos para Jovens e Adultos (EJA), pois pode ser aplicado imediatamente no seu cotidiano.  Saber lidar com o dinheiro, adequar nossas despesas ao salário e saber decidir como pagar compras, à vista ou a prazo, ou como efetuar o pagamento dos tributos são atitudes essenciais para o pleno exercício da cidadania.
Esperamos que este mini-curso auxilie o professor a abordar o tópico de Matemática Financeira de modo agradável e eficaz, tornando os alunos aptos a resolver as situações financeiras que se apresentam de modo crítico, não sendo levados por propostas enganosas.

REFERÊNCIAS
Lima, EL, Carvalho, PCP, Wagner, E, Morgado, AC (2000): A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, SBM.
		
Novellino, JEF e Novaes, RCN (a aparecer): Matemática Financeira: um método visual.

Brasil, Ministério da Educação (1988): Parâmetros Curriculares Nacionais.