Matemática Financeira no Ensino Fundamental:
qual a sua importância e como a calculadora pode ajudar?

Lílian Nasser
Cláudio Henrique da C. Pereira
Daniela Dias, 
Geneci A. de Sousa
Rui de Souza Xavier

Equipe do Projeto Fundão – IM/UFRJ
pfundao@im.ufrj.br

Introdução
Pode-se afirmar que atualmente o tópico de Porcentagem é o que encontra mais aplicações no dia-a-dia do cidadão brasileiro.  É praticamente impossível ler um jornal sem que apareça o símbolo de porcentagem em diversas notícias: taxas de juros praticadas, anúncios de produtos vendidos a prazo, ofertas de empréstimos ou até na audiência dos programas de TV. Por isso, desperta o interesse dos alunos nas séries finais do Ensino Fundamental, principalmente nas turmas do Ensino de Jovens e Adultos (EJA). No entanto, as avaliações estaduais e nacionais como o SAEB, Prova Brasil, ENEM indicam que os alunos brasileiros apresentam sérias dificuldades no trato com as porcentagens.

Uma análise detalhada das respostas de grande parte dos alunos a itens envolvendo porcentagens indica que as dificuldades estão relacionadas ao próprio conceito de porcentagem ou às operações com frações. O estudo das porcentagens é iniciado ainda na 4ª série do Ensino Fundamental (atual 5º ano), quando os alunos ainda não dominam as operações com frações. Esta pode ser a origem das dificuldades com as porcentagens.
Os itens a seguir são exemplos do baixo desempenho de alunos brasileiros em questões envolvendo porcentagens.

Exemplo 1: (SAEB-2001)
O salário de Moema era R$850,00. Ela foi promovida e ganhou um aumento de 28%. Logo, o novo salário dela é
(A)	R$ 1.088,00
(B)	R$ 1.020,00
(C)	R$ 935,00
(D)	R$ 878,00
Percentuais de respostas das alternativas
Gabarito	A	B	C	D	Em branco ou nula	
A	24%	24%	22%	27%	           3%	

Houve dispersão entre as opções selecionadas, mas a alternativa que atraiu mais os alunos foi a (D): 27% dos alunos escolheram esta opção, em que o resultado é obtido somando-se o salário com a taxa de aumento. Isso indica que esses alunos não têm idéia do que representa o sinal de %.

Exemplo 2: (Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, 2002)
João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de gratificação
(A)	R$ 100,00
(B)	R$ 125,00
(C)	R$ 250,00
(D)	R$ 350,00

Percentuais de respostas das alternativas
Gabarito	A	B	C	D	Em branco ou nula	
C	18%	12%	26%	38%	           6%	

Para responder corretamente este item, os alunos deveriam perceber que 100% correspondem ao total e, portanto, correspondem a R$250,00.  Observe que a opção (D) atraiu 38% dos alunos, que somaram R$100,00 ao salário, confundindo a taxa percentual com o valor da gratificação. Também os 18% dos alunos que escolheram a alternativa (A) fizeram o mesmo tipo de confusão. 

Além de alertar para esses tipos de erros, é preciso deixar claro para os alunos que as porcentagens calculadas em relação a um mesmo total devem somar 100%. 

Outra estratégia importante para o cálculo mental é usar uma fração simplificada para representar uma porcentagem, isto é, perceber que para achar, por exemplo:
- 20% basta multiplicar por 1/5 ou dividir por 5;
- 25% basta multiplicar por 1/4 ou dividir por 4;
- 10% basta multiplicar por 1/10 ou dividir por 10;

Alguns professores podem achar que Matemática Financeira é assunto para o Ensino Médio, e simplesmente ignorar esse tópico no Ensino Fundamental. No entanto, o interesse dos alunos e o apelo das aplicações sugerem que o tema deve ser abordado nas séries finais do Ensino Fundamental, por meio de atividades interessantes, do cotidiano desses alunos. É importante destacar que, mais do que nunca, aprender a lidar com o dinheiro é importante para a formação do cidadão.

A idéia de lucro e prejuízo e a desvalorização do dinheiro ao longo do tempo fazem parte do nosso cotidiano. É fundamental entender que o dinheiro tem “preço” (quando tomamos dinheiro emprestado ou aplicamos uma quantia no banco, pagamos ou recebemos juros sobre o valor) e que quanto mais tempo ficamos com o dinheiro parado, mais desvalorizado ele fica, e que, portanto, o tempo é fator importante na preservação do valor monetário.  Aprender desde cedo a controlar suas finanças é importante. Em alguns países, como nos Estados Unidos, essa idéia já foi colocada em prática e as crianças aprendem na escola a lidar com suas economias.

Neste mini-curso abordamos o ensino de porcentagens com um enfoque dinâmico e visual: por meio do eixo das setas, o aluno desenvolve um raciocínio que o leva a perceber como proceder para resolver qualquer problema. Trabalhamos com a taxa percentual na forma decimal, encontrando o fator que deve ser multiplicado ao valor original para encontrar o novo valor. Por exemplo, para encontrar o preço de um objeto após um aumento de 20%, deve-se multiplicar o valor original por 1,2. Se for um desconto de 10%, o fator a ser multiplicado é 0,9.

Esse procedimento tem diversas vantagens:
- estimula o cálculo mental;
- o problema é resolvido com apenas uma operação de multiplicação;
- é adequado e estimula o uso da calculadora;
- facilita a resolução de problemas que envolvem descontos ou aumentos sucessivos;
- prepara para o trabalho com a variação do dinheiro no tempo e juros compostos.

Os alunos de 7ª e 8ª séries (atuais 8º e 9º anos) tendem a resolver os problemas de porcentagem pela aplicação de uma fórmula ou por regra de três, mas nas experiências que temos desenvolvido com professores e com alunos, ficam claros os benefícios do cálculo das porcentagens usando o fator.

O uso da calculadora em Matemática Financeira

O uso da calculadora no Ensino Fundamental sempre foi desaconselhado, pois acreditava-se que isto poderia fazer com que o aluno não memorizasse a tabuada, desaprendesse os algoritmos ou mesmo se tornasse preguiçoso.  Mesmo a calculadora mais simples, conhecida como de “quatro operações”, deve ter seu uso incentivado pelo professor. Atualmente, cálculos feitos com lápis e papel devem estar associados ao cálculo mental, às estimativas e ao uso de calculadoras. 

A calculadora é um recurso muito útil para a verificação e correção de resultados. Em diversas oportunidades, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam o uso da calculadora, segundo os autores, de acordo com a maioria dos pesquisadores, salientando que:
Dentre as várias razões para seu uso (da calculadora), ressalta-se a possibilidade de explorar problemas com números freqüentes nas situações cotidianas e que demandam cálculos mais complexos, como: os fatores utilizados na conversão de moedas, os índices com quatro casas decimais (utilizados na correção da poupança), dos descontos como 0,25% etc.   (p. 67)

Além da exploração do conceito e aplicações da porcentagem desde o segundo ciclo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam entre os conceitos e procedimentos para o quarto ciclo (7ª e 8ª séries) a

	resolução de situações-problema que envolvem juros simples e alguns casos de juros compostos, construindo estratégias variadas, principalmente as que fazem uso de calculadora.                             (p.87)

Em Matemática Financeira, o uso da calculadora torna-se imprescindível, pois trabalha-se com números de várias casas decimais e também raízes com índices maiores que 3, o que torna o uso de lápis e papel muito trabalhoso, como no exemplo a seguir.

A que taxa devemos aplicar um capital para que em 6 meses ele tenha rendimento de 12,62%?

Desenvolvimento algébrico:
(1+ i)6 = 1,1262
Devemos calcular a sexta raiz de 1,1262.  A calculadora deve ser utilizada sem prejuízo da compreensão do problema. 

Neste curso, através de vários exemplos e exercícios, vamos mostrar a importância do uso da calculadora no estudo de Matemática Financeira. 

Porcentagem como fator
No ensino de porcentagem é recomendável acostumar o aluno a usar a notação decimal, já que alguns exercícios podem ser resolvidos mais facilmente com essa notação. Por exemplo, para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de 15%, basta multiplicar o preço original P por 1,15, já que:
P + 15% de P =  P +   =  P + 0,15 P = 1,15 P.

Para calcular um valor depois de acréscimos ou descontos sucessivos, a notação decimal deve ser usada para multiplicar (e não para somar) as taxas.

Exemplo 3:
Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B.  Qual o preço da bolsa na loja B?

Este problema é muito simples de ser resolvido usando a notação decimal.  É um desafio interessante deixar os alunos tentarem resolvê-lo pelos processos usuais, como a regra de três. Muitos alunos vão formar um sistema com as informações sobre o preço da bolsa nas lojas A e B. Depois apresente a eles uma solução que usa a porcentagem como fator, como a que segue.

Resolução: 
0,15 A = 30,00     A = 200,00
B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00

Exercícios:
1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. 
a) Um apartamento foi vendido por R$62.400,00.  Determine a comissão recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor.  Determine o valor da comissão.                               (UFRJ)

2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?

3) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários?

4) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$460,00. Qual era o preço do aparelho antes do aumento? 

5)	A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$350,00.  Qual o percentual de aumento?

6) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos –SEE/RJ 2004)
CANDIDATOS	NÚMERO DE VOTOS	
A	6000	
B	5000	
C	5500	
D	3500	
E	4000	
TOTAL DE VOTOS VÁLIDOS	24000	
	  Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos.
O percentual de votos do candidato vencedor foi:
(A)	25%
(B)	30%
(C)	32%
(D)	35%

Eixo das setas
As situações dos problemas de Matemática Financeira podem ser representadas graficamente, usando o “eixo das setas” (Novelino e Novaes; Lima e outros, 2000). 

É um diagrama composto por um eixo horizontal que funciona como uma escala de tempo, e setas verticais posicionadas sobre datas, indicando os valores em cada data.

No caso de porcentagem são apenas 2 setas: o valor inicial e o resultado após a aplicação da porcentagem.

Exemplo 4:
Numa liquidação, uma torradeira que custava R$45,00 teve um desconto de 12%.  Qual o preço da torradeira na liquidação?

Para determinar o preço da torradeira na liquidação, precisamos calcular 12% de R$45,00, e diminuir do valor original.  
Também podemos multiplicar o valor original pelo fator (1 – 0,12) = 0,88, obtendo diretamente o preço na liquidação:

45,00

39,60

P

L

   x 0,88

0,88 x 45,00 = R$39,60

A resolução desse problema pode ser representado 
pelo diagrama ao lado

O exemplo 1 acima também pode ser representado no eixo das setas:

A

A – 30

A

B

   x 0,85

                                                              0,85 A = A – 30,00
                                                              0,15 A = 30,00
                                                               A = 200,00          B = R$170,00

Use o eixo das setas para resolver os seguintes exercícios:
1) Quero vender um rádio que me custou R$120,00, com lucro de 15% sobre o preço de custo.  Por quanto devo vendê-lo?

2) O salário bruto de um professor é de R$600,00. Se ele é descontado em 11% para a Previdência Social, quanto ele recebe de salário líquido?

3) Amauri anunciou sua bicicleta por R$800,00.  Como estava precisando de dinheiro, aceitou vender sua bicicleta a um amigo com um desconto de R$100,00 sobre o preço pedido. Qual foi a taxa percentual do desconto concedido?

4) Em uma cidade, 6% dos habitantes são analfabetos. Se nessa cidade há 5.170 pessoas que sabem ler, quantos indivíduos moram nessa cidade?

5) Em um colégio, 38% dos alunos são meninos e há 155 meninas. Qual o número de alunos desse colégio?

6)	O preço de custo de um aparador de grama é de R$160,00.  Se ele foi vendido por R$240,00, qual o percentual de lucro? 

Aumentos ou descontos sucessivos:
Se um produto sofrer aumentos sucessivos, como deve ser calculada a taxa total de aumento? De acordo com Lima e outros (2000),

As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 21%. (p. 45)

Imagine que um produto sofra um aumento de 20% num mês e outro de 10% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total sobre o preço do produto nesses dois meses? 
Pode-se supor que o preço do produto seja 100. Com o aumento de 20%, temos:
100 + (20% x 100) = 100 + (0,20 x 100) =  1,20 x 100 = 120.

    100                 120                   132

 0                      1                       2            
         x 1,20                x 1,10

x 1,32

Após o aumento de 10% teremos:
120 + (0,10 x 120) = (1 + 0,10) x 100 =
                               = 1,10 x 120 = 132  ou 
1,10 x (1,20 x 100) = 1,32 x 100 = 132.
Portanto, a taxa total de aumento é de 32%.
Com o uso da calculadora:

=

x

Fator:  1,20                                       

=

Fator: 1,10         1,20  	1,32
1,32   -   1  	0,32

  x    100      =        32% 

O mesmo problema poderia ser resolvido sem arbitrar um valor numérico, usando uma letra para representar o preço do produto. 
Observe que a melhor maneira para resolver problemas desse tipo é usando a notação decimal, e a representação com o eixo das setas.

Tente resolver agora os problemas a seguir:

1) Num certo país, a inflação é muito alta, e os preços são reajustados mensalmente. Se num mês a taxa de inflação foi de 8% e no mês seguinte, de 10%, qual o reajuste acumulado ao fim desses 2 meses?  

2)	A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado.   (UFRJ-1993)

3)	Investindo seu dinheiro à taxa de 5% ao mês, quanto você recebe depois de 2 meses?

Conjugando o eixo das setas com o uso da porcentagem como fator e o uso da calculadora, é possível estabelecer uma estratégia que facilita a resolução dos problemas, fornecendo aos alunos um método de raciocínio que pode ser aplicado a qualquer problema.

Exemplo 5:
    Um professor comprou um computador por R$ 1.200,00, e uma impressora por R$300,00. Depois de algum tempo, conseguiu vender o computador com 12% de lucro, e a impressora com 5% de prejuízo. 
No total, ele teve lucro ou prejuízo na venda?  De quantos por cento?
Resolução Algébrica:
i)	Preço de venda do computador:
      Pv =  Pc (1+ i) = 1.200,00 (1 + 0,12) = 1.200,00 x 1,12 = R$ 1.344,00
ii)	Preço de venda da impressora:
      Pv =  Pc (1- i) = 300,00 (1 - 0,05) = 300,00 x 0,95 = R$ 285,00

iii)	Preço total de venda: R$ 1.344,00 + R$ 285,00 = R$1.629,00
Preço total de compra: R$ 1.200,00 + R$ 300,00 = R$ 1.500,00
       Como o preço de venda foi maior que o de compra, houve um lucro. A taxa de lucro foi de:
                1.629,00 = 1.500,00 (1 + i)
                 
                Logo, i = 0,086, o que corresponde a uma taxa de 8,6%.
Resolução com o uso da calculadora:
i)  
   Fator:   (1 + 0,12) =  1,12   cálculo mental

                1,12              x      1.200,00        =      1.344,00
ii) 
     Fator : (1 – 0,05) = 0,95   cálculo mental
                0,95              x      300,00  =     285,00
iii)
  1.629,00          :       1.500,00        -       1          =       0,086

                                      x     100                   =     8,6%

A seguir, resolva os seguintes problemas: 
1) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos sucessivos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores à data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários?

2) Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal. Em quantos por cento aumenta o preço desse artigo?

3)
O trabalhador brasileiro, de acordo com o salário recebido mês a mês, está sujeito a uma “mordida do leão”, conforme tabela a seguir:

Valores do IR – FONTE	Alíquota	Parcela a deduzir	
Até R$1 313,69	Isento	         -	
De R$ 1 313,70 a R 2 625,12	15%	R$ 197,05	
Acima de R$2 625,13	27,5%	R$ 525,19	
Para calcular o imposto:
1º) Tome o salário bruto mensal e subtraia o valor das deduções permitidas: 
a) R$132,05 por dependentes; b) dedução especial de R$1.313,69 para aposentados, pensionistas e transferidos para a reserva remunerada com 65 anos ou mais; c) contribuição mensal à Previdência Social d) pensão alimentícia paga devido a acordo ou sentença judicial. 
2º) Multiplique o resultado por 0,15 (alíquota de 15%) ou 0,275  (alíquota de 27,5%) e deduza a parcela correspondente à faixa. 
Fonte: Secretaria da Receita Federal

De acordo com esses dados, determine:
a) O imposto a pagar por um trabalhador com 30 anos, 3 dependentes, renda mensal de R$2.800,00. Considere que ele não pague pensão alimentícia, não é aposentado /pensionista e o desconto previdenciário seja de 11%. 

b) Analisando a tabela do imposto de renda acima, você pode observar a existência de parcelas a serem deduzidas em cada faixa. Você seria capaz de justificar o valor dessas parcelas?

Cálculo de taxas equivalentes:
Chamamos de Taxas Equivalentes às taxas que produzem juros iguais em períodos de tempos diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital. 
Chamaremos de Taxa  Equivalente Maior  ( iM ) quando for dada uma taxa num período menor, para  ser calculada para um período de tempo maior que o dado.
O intervalo entre as setas representa a unidade de tempo  dada pela taxa menor. No exemplo abaixo, cada seta representa a taxa a cada mês. 

. (1 + i)     . (1 + i)     . (1 + i)           . . .     

(1+i)t

                                                                              . . .

                  

Considerando o período total, a taxa seria de  1 + iM , que corresponde ao produto dos fatores (1 + i), por t meses. Então:
          1 + iM = (1 + i )t    e segue que:             

Exemplo 6:  Calcular a taxa trimestral equivalente a 5% a.m.
Queremos avançar 3 unidades de tempo.
A solução pode ser resumida à  utilização de uma tecla, se o aluno souber calcular mentalmente o fator:     (1 + 0,05) = 1,05  (Cálculo mental) 
   1,05 
   yx     3     =                          1,157625                         15,7625%

Depois, retire o um antes da vírgula e desloque-a duas casas à direita.   

Chamaremos de Taxa  Equivalente menor  (im) quando for dada uma taxa num período maior  para  ser calculada por um período de tempo menor que o dado.

. (1 + i)1/t   . (1 + i)1/t     . (1 + i)1/t           . . .     

(1+i)n/t

                        im = ( 1 + i ) n/t  - 1 

Exemplo 7:

Calcular a taxa mensal equivalente a 26,8242% a.a.
Observe que neste exemplo queremos voltar 12 unidades de tempo: 
Então:   
 
Teclas                                                   Visor

:

M+

Uso da memória 
 1        12   

  Fator:                 1,268242           

yx

RM

=          

                                                          1,020000014

=

-

             1                0,020000014

=

 x

             100              2,0000014                                   2%

Exercícios propostos:
1)	Calcular a taxa equivalente para 5 meses a 26,8242% a.a. 
                                                                          
2)	Calcular a taxa trimestral equivalente a 26,8242% a.a.

Juros Simples
Nos juros simples, a cada período de tempo somamos a taxa, que incide sempre sobre o valor inicial. Essa modalidade  não é muito praticada no mercado financeiro, devido à desvalorização monetária (inflação).

1               2                3             . . . .                       n

       + i              + i                             + i

C            C +i C     C + 2i C                                  M    

                                                                 

                                                        

M =   C ( 1 + n i)

Exemplo 8:
Um capital investido a juros simples, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros?

I = 5%  = 0,05                                            Com calculadora.
n = 6 meses
ni = 6 x 0,05 = 0,30                                                6   x     0,05        =   0,30

Fator = 1,30                                                           1     +      0,30     =     1,30
  
Se aplicarmos R$100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,30 = 130,00.

Juros Compostos
Modalidade  praticada nos mercados onde existe inflação (todos). 
Nos juros compostos multiplicamos a taxa.

1                2               3             . . . .                        n

     x(1+i)        x(1+i)                    . .  x(1+i)

C                                                                              M

M =   c ( 1 + i)n

Exemplo 9:
Um capital investido a juros compostos, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros?

i = 5%  = 0,05                                            
n = 6 meses
(1 + i )n = ( 1,05 )6  = 1,34        
Com a calculadora
1,05      yx     6           =    1,34

Se aplicarmos R$ 100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,34 = R$ 134,00.

EXERCÍCIOS

1) Desejo vender um livro que me custou R$ 20,00 com lucro de 15% sobre o preço de custo. 
      Determine:
a)	O preço de venda
b)	O lucro

2) Uma concessionária vende um modelo usado com prejuízo de 18,5 %.    Se o carro custou R$ 38.000,00, então:
a)	Por quanto esse modelo deve ser vendido?
b)	Qual o valor do prejuízo?

3) Uma pessoa resolve vender o seu televisor, com prejuízo de 25% sobre o preço de custo.  Se o aparelho foi vendido por R$ 400,00, determine:
a)	O preço de custo.
b)	O prejuízo.

4) Certa categoria profissional, em sua data base, conquistou um aumento de 12,8%, descontado o aumento antecipado de  5%. Qual o reajuste efetivo será dado nessa data a essa categoria?

5) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores a data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários?

6)  O preço do café sofrerá um aumento de 1,25%. Se a inflação do período é de 0,85%, qual a porcentagem real de aumento dado sobre esse preço?

Comentários finais
Introduzir o estudo da Matemática Financeira no Ensino Fundamental é um desafio que, atualmente, todo professor tem que enfrentar. Neste mini-curso adotamos uma abordagem prática e visual, que permite ao aluno raciocinar sobre a situação que se apresenta e encontrar a solução mais vantajosa. A calculadora é uma ferramenta que, se bem explorada, pode ajudar na resolução das tarefas, sem prejuízo para a aprendizagem significativa.
Professores de Ensino Fundamental do Rio de Janeiro têm se mostrado muito receptivos a essas idéias, e alguns já estão adotando essa abordagem com bons resultados.

Referências
Brasil, Ministério da Educação (1988): Parâmetros Curriculares Nacionais.

Lima, EL, Carvalho, PCP, Wagner, E, Morgado, AC (2000): A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, SBM.

Secretaria de Educação do Município do Rio de Janeiro (2002): Resultados da Avaliação dos alunos da 4ª série do E.F.