CONCEPÇÕES E OBSTÁCULOS COGNITIVOS ENVOLVIDOS NA FORMAÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

Profª. Ms. Luciane de Castro Quintiliano (Unesp/Bauru) – lucianecq@ig.com.br

Introdução

Para que os estudantes alcancem uma formação de conceitos algébricos satisfatória, e para que obtenham um desenvolvimento do pensamento algébrico sólido, o ensino da álgebra deve não só estar articulado com os conceitos aritméticos desde os ciclos iniciais, mas também enfatizar as várias concepções da álgebra, permitindo assim, um efetivo desenvolvimento do pensamento abstrato e a capacidade para generalizar os conceitos nas séries posteriores à educação básica.
Sendo assim, é de extrema importância que os professores de Matemática estejam sempre engajados em cursos de formação continuada que proporcionem o contato com atividades envolvendo os conteúdos pedagógicos, e que incentivem efetivamente a busca de ferramentas através da literatura existente nas universidades para lidarem não só com suas próprias dificuldades, mas também com as dificuldades de seus alunos e, ainda, elaborar atividades que desenvolvam os conteúdos específicos da Matemática de uma forma geral, para que adquiram subsídios que possibilitem exercitar e atuar de forma eficaz durante o processo de ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos, especificamente os conceitos algébricos.
É importante ainda que, mudanças sejam feitas no currículo da Matemática, buscando relacionar o ensino da álgebra com o ensino da aritmética, já que suas operações estão igualmente relacionadas, impedindo assim que os estudantes encontrem dificuldades na aprendizagem dos conceitos algébricos, e ainda que tais dificuldades sejam transportadas para as séries posteriores. 
Além das mudanças que devem ser realizadas no ensino da álgebra, é importante que, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) e Usiskin (2001), o ensino da álgebra enfatize as várias concepções, ou seja, as várias dimensões da álgebra no decorrer do ensino fundamental.
Segundo Usiskin (2001), as diversas concepções da álgebra têm relação com os diferentes usos das variáveis e, portanto, segundo a autora, enquadrar o conceito de variável em uma única concepção pode desencadear uma supersimplificação, distorcendo, dessa forma, os objetos da álgebra.
	Inicialmente, a primeira concepção trata a álgebra como aritmética generalizada. Nesta concepção, é habitual pensar as variáveis como generalizadora de modelos, como por exemplo, 3 + 5 x 7 = 5 x 7 + 3 como a + b = b + a. O modelo 3 x 5 = 15
		     2 x 5 = 10
		     1 x 5 =  5
		     0 x 5 =  0
é desenvolvido desta forma, envolvendo a multiplicação por números negativos (o que, de acordo com a autora, nesta concepção, muitas vezes é considerado álgebra, e não aritmética):
    -1 x 5 = -5
    -2 x 5 = -10
generaliza-se então essa idéia extraindo propriedades como: -x . y = -xy
	Nessa concepção, as instruções-chave para o aluno são traduzir e generalizar, e isto é importante tanto para o ensino da álgebra quanto para o ensino da aritmética.
	A segunda concepção trata a álgebra como um estudo de procedimentos para solucionar determinados tipos de problemas. A partir do problema “Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Encontrar o número”, pode-se traduzir tal problema para a linguagem da álgebra,  tal como    5x + 3 = 40 e solucioná-lo somando-se –3 a ambos os membros;  5x + 3 + (-3) = 40 + (-3), posteriormente fazer a simplificação 5x = 37  o resultado será x = 7,4.
	Nesta concepção de álgebra, as variáveis são incógnitas ou constantes, e enquanto as instruções-chave no uso da variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar, nesta situação as instruções-chave são simplificar e resolver.
 	A terceira concepção trata a álgebra como o estudo de relações entre grandezas. Por exemplo, quando escrevemos A = b.h (fórmula da área de um triângulo retângulo), estamos expressando uma relação entre três grandezas, pois neste caso não se tem a percepção de estar trabalhando com uma incógnita, porque não estamos solucionando nada neste caso. E a diferença entre esta concepção e a concepção anterior é que, neste caso, as variáveis realmente variam.  
E tal diferença fica clara através das respostas que os alunos habitualmente apresentam às perguntas do tipo: O que ocorre com o valor de 1/x quando x se torna cada vez maior? A questão inicialmente parece simples, mas pode confundir os alunos, pois não pedimos, neste caso, o valor de x e portanto, x não é incógnita. Existe neste caso um modelo a ser generalizado, mas não se trata de um modelo que se assemelhe com a aritmética é um modelo essencialmente algébrico.
A quarta concepção trata a álgebra como o estudo das estruturas, e a reconhecemos como tal através das propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios, como por exemplo no seguinte problema: Fatorar 3x + 4ax – 132a. A resposta à questão é (3x + 22a) (x – 6a), e nesse caso é importante solicitar ao aluno testar a resposta multiplicando os binômios, utilizando o mesmo procedimento que empregaram inicialmente para obter a resposta. A concepção de variável nesta situação não coincide com nenhuma daquelas apontadas anteriormente, pois a variável é pouco mais que um símbolo arbitrário.
Segundo Usiskin (2001), muitos estudantes pensam que todas as variáveis são letras que representam números, mas os valores assumidos por uma variável nem sempre são números, mesmo na matemática ensinada no ensino médio. Verifica-se este fato, por exemplo, na geometria em que as variáveis muitas vezes representam pontos.
Com relação às dificuldades dos estudantes em álgebra, de acordo com Booth (2001), é importante o professor tentar identificar os tipos de erros que os alunos normalmente cometem, e buscar investigá-los. E tratando sobre as diferenças de idade e experiência em álgebra, em seu estudo, o autor verificou que alguns tipos de erros apareciam em todas as séries investigadas, e, a partir disso, através de entrevistas com os alunos, identificou quatro aspectos que poderiam ter originado das idéias dos estudantes sobre eles:
1-	o foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”;
2-	o uso da notação e da convenção em álgebra;
3-	o significado das letras e das variáveis;
4-	os tipos de relações e métodos usados em aritmética.

O foco da atividade algébrica é diferente da aritmética, pois em álgebra estabelecem-se procedimentos e relações para expressá-los em uma forma simplificada geral, e na aritmética o foco é encontrar determinadas respostas numéricas específicas.
Com relação à interpretação dos símbolos, os estudantes têm dificuldades para simplificar expressões do tipo 3a + 6b pois, segundo Booth (2001), isso decorre do fato de que, em aritmética, símbolos como + e = são interpretados comumente em termos de ações a serem efetuadas, de forma que + significa efetivamente realizar a operação solicitada, e = representa escrever a resposta. Portanto, isto leva o aluno a associar a junção dos dois termos, como é feita na aritmética, às operações e procedimentos algébricos, levando o estudante ao erro, como por exemplo, em 3a + 6b = 9ab.
Uma outra questão que pode gerar dificuldades sobre o entendimento do significado das letras e das variáveis em álgebra é, por exemplo, quando o estudante associa erroneamente a letra m para representar “metros”, como acontece na aritmética, e não para representar o número de metros, como em álgebra, e isto decorre possivelmente da falta de referencial numérico por parte do aluno ao interpretar o significado das letras em álgebra. O autor sugere que para evitar esse tipo de erro é importante que o professor tome cuidado ao fazer afirmações do tipo “a representa o número de abacaxis”, conduzindo o aluno a converter “3a” em “3 abacaxis”, ao invés de “3 vezes o número de abacaxis”, pois escrevendo o produto por extenso, pode-se evitar erros de conversão. Com relação ao entendimento de variável, torna-se importante o professor tomar cuidado ao utilizar sempre as mesmas letras para representar as variáveis, evitando assim que o aluno pense que tais letras representam valores únicos.
Na perspectiva das diferenças entre a aritmética e a álgebra, as dificuldades podem ocorrer na compreensão, por parte dos alunos, da generalização das relações e procedimentos dentro do contexto aritmético, pois se os estudantes tiverem concepções errôneas a respeito deles, poderão encontrar dificuldades na aprendizagem dos conceitos algébricos. 
Outro conceito que, com freqüência, os estudantes encontram dificuldades são as expressões algébricas, e isto pode estar vinculado, segundo Chalouh e Herscovics (2001), às definições formais que são apresentadas aos alunos desde o princípio da aprendizagem deste conteúdo escolar, pois dizer que “uma variável é uma letra que representa um ou mais números”, de acordo com os autores, é adequado somente para os professores de matemática, porque para os estudantes, principalmente os iniciantes, tal definição carece de significado, visto que para que os estudantes construam um significado para as expressões algébricas desde o início, é preciso que tenham em sua formação uma base cognitiva que o alicerce. 
	Para isso, os autores construíram um esquema de ensino onde as expressões são introduzidas como respostas aos problemas utilizando representação visual para os conceitos que já foram aprendidos previamente pelos alunos, tais como número de pontos de um quadro retangular, o comprimento de um segmento de reta e a área de um retângulo. E para colocar em prática o esquema de ensino, levou-se em consideração inicialmente quatro obstáculos cognitivos:
1-	Falta de referencial numérico no uso das letras pelo aluno – neste caso, se o aluno não consegue visualizar as letras como representações dos números, realizar operações com tais letras torna-se sem sentido.
2-	Incapacidade de aceitar a ausência de fechamento – em aritmética, por exemplo, “2 + 3” pode ser substituída por “5”; porém, uma expressão como “x + 3” não pode ser substituída por outro número, e portanto pode acontecer do aluno encontrar dificuldades em manter a expressão sem efetuar operações.
3-	Dilema nome-processo – esta situação representa um outro obstáculo cognitivo; no caso anterior, “2 + 3” é o problema e “5” a resposta, enquanto que “x + 3” tanto descreve um processo (somar 3 com x) como dá nome à resposta.
4-	Justaposição em álgebra – na aritmética a justaposição de dois números significa a adição (43 = 40 + 3); já na álgebra significa a multiplicação (4a = 4 . a).

A partir disso, considera-se importante que os professores, ao dar início ao ensino de expressões algébricas, considerem os obstáculos acima evidenciados para que a aprendizagem deste conceito seja significativa para os alunos, evitando que, posteriormente, surjam as dificuldades relacionadas a este conceito. 
Assim sendo, a proposta deste mini-curso é fornecer subsídios aos professores através de uma discussão teórica e prática sobre o ensino da álgebra, proporcionando aos mesmos uma compreensão abrangente sobre as dificuldades e os fatores que podem influenciar o processo de ensino-aprendizagem dessa área da Matemática.

Metodologia de Trabalho

Primeira parte: Será realizada uma exposição teórica acerca dos pontos de vista de vários autores no que se refere ao ensino-aprendizagem de álgebra. 
Segunda parte: Serão apresentadas várias situações-problema, solucionadas anteriormente por alunos da 8ª série do ensino fundamental, aos participantes abordando os conceitos de expressão e equação algébrica, onde os mesmos deverão realizar uma análise das respostas desses alunos nas referidas situações-problema, considerando sempre o processo de solução de problemas dos estudantes, buscando identificar os possíveis obstáculos cognitivos apresentados por estes estudantes. 
Terceira parte: Será realizada uma discussão acerca do tema proposto por este mini-curso levando em consideração, principalmente as experiências já vivenciadas pelos professores participantes, no ambiente escolar, e os obstáculos cognitivos que possivelmente forem evidenciados na análise das respostas dos alunos às questões inicialmente propostas. 

Materiais a serem utilizados
Retroprojetor

Referências Bibliográficas

BOOTH, L. R.. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In As idéias da álgebra. The National Council of teachers of mathematics. Organizadores Arthur F. Cosford, Alberto P. Shulte. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual. p. 23-36, 2001.

CHALOUH, L. & HERSCOVICS, N.. Ensinando expressões algébricas de maneira significativa. In As idéias da álgebra. The National Council of teachers of mathematics. Organizadores Arthur F. Cosford, Alberto P. Shulte. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual. p. 23-36, 2001.
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL (SEF/MEC). Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.

USISKIN, Z. . Concepções sobre a álgebra da escola média e utilização das variáveis. In As idéias da álgebra. The National Council of teachers of mathematics. Organizadores Arthur F. Cosford, Alberto P. Shulte. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual. p. 9-22, 2001.