GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS:
DO CAMINHAR NAS CIDADES AO FUNCIONAMENTO DO GPS

Ana Maria Kaleff: Universidade Federal Fluminense (UFF); anakaleff@vm.uff.br
Diogo Tavares Robaina: Instituto ABEL-Niterói; LEG/UFF; niteroi@niteroi.pro.br
Rogério Santos do Nascimento: SEE-RJ; LEG/UFF; roggeo@bol.com.br

Introdução 
A Universidade Federal Fluminense (UFF), por meio do Laboratório de Ensino de Geometria (LEG), instalado no Instituto de Matemática, no município de Niterói-RJ, tem buscado vincular ações pedagógicas a museus interativos e a mostras destinadas a feiras de Ciências, com vistas à divulgação e à democratização dos conceitos científicos elementares. Visando tal objetivo, a criação de instrumentos didáticos para exposições tipo museu interativo e sua aplicação em oficinas destinadas tanto à formação do licenciando como à formação continuada de professores, têm se apresentado como uma forma eficaz de se popularizar temas relacionados à Matemática, bem como de divulgar práticas inovadoras voltadas para o seu ensino e aprendizagem. Primeiramente, a fim de que se possa entender em que contexto são desenvolvidas atividades pedagógicas relacionadas a conhecimentos geométricos, como as relatadas a seguir, é necessário que se considere a inserção, o papel e a importância das Geometrias não-Euclidianas no âmbito da Geometria Escolar, neste início de século.
Tradicionalmente, os conhecimentos geométricos se restringiam aos saberes – relações lógicas e construções de traçados constitutivos de desenhos – advindos da geometria estabelecida na Grécia há cerca de 2700 anos e conhecida hoje como Geometria Euclidiana. Tais saberes fundamentaram soluções e se mostraram suficientes para o entendimento dos problemas das ciências da Natureza até o século XIX. Estes conhecimentos evoluíram, tanto em decorrência do surgimento de diversas concepções geométricas inovadoras, alternativas à Euclidiana: as Geometrias não-Euclidianas, quanto como conseqüência de reconsiderações conceituais surgidas ao longo do século XX, decorrentes dos novos conhecimentos advindos do desenvolvimento teórico da Matemática e da ciência da computação.
Nas duas últimas décadas, todavia, criaram-se nos meios educacionais, oportunidades para a inclusão de conteúdos advindos das diversas Geometrias, Euclidiana e não-Euclidianas, aos conhecimentos geométricos escolares considerados como adequados à formação de alunos para o século XXI. Estes conteúdos, para uma nova constituição da Geometria Escolar, têm sido objeto de discussão entre os membros de várias associações de profissionais da Matemática: matemáticos, professores, e educadores matemáticos, de vários países. Os resultados e as conseqüências destas interações têm sido apresentados em documentos emitidos por grupos internacionais de pesquisa sobre currículos para a Geometria Escolar, bem como em documentos governamentais norteadores da formação e da prática educacional do professor de Matemática.
É interessante que se observe como no Brasil, o documento referente ao Ensino Fundamental, os PCN-Matemática - 5ª a 8ª series (MEC, 1998), apresenta a Matemática a ser ensinada aos jovens adolescentes:

“[...] fruto da criação e invenção humanas, a Matemática não evolui de forma linear e logicamente organizada. Desenvolve-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas. Freqüentemente um conhecimento é amplamente utilizado na ciência ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos formais do corpo da Matemática. Exemplos desse fato podem ser encontrados no surgimento dos números negativos, irracionais e imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a Geometria Euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico” (p. 24).

No âmbito dos projetos desenvolvidos no LEG, os materiais e ações pedagógicas visam à criação de um acervo de instrumentos facilmente manipuláveis e de baixo custo, os quais objetivam dar ênfase ao desenvolvimento de habilidades introdutórias à aprendizagem de conceitos geométricos, euclidianos e não-euclidianos a serem utilizados tanto no âmbito de uma sala de aula, quanto da ambientação de museus interativos. Tais materiais abrangem, portanto, uma ampla faixa etária de aplicação e um público muito diversificado.

Fundamentação teórica 
Os procedimentos realizados no LEG têm por fundamentação teórico-metodológica os Parâmetros Curriculares Nacionais-PCN (MEC, 1998) e o modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico (KALEFF et al, 1994). Por outro lado, tais procedimentos têm sido influenciados pelas pesquisas desenvolvidas na UFF sobre as representações matemáticas presentes em situações-problema introdutórias às Geometrias não-Euclidianas (KALEFF, 2004).
No capítulo inicial do volume dos PCN destinado à 8ª Série do ensino fundamental, relativamente aos princípios norteadores do ensino e à aprendizagem da Matemática e seus temas correlatos, vale mencionar a ênfase dada à importância de se relacionar observações do mundo real com suas representações e estas a princípios e conceitos matemáticos:

“No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados” (p. 19).

O segundo pilar de fundamentação teórica das ações realizadas no LEG é o Modelo de van Hiele para o desenvolvimento do pensamento em Geometria. Segundo este modelo, a visualização, a análise e a organização informal das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico euclidiano são passos preparatórios para o entendimento da formalização do conceito e estes precedem o nível formal que possibilita á introdução aos conhecimentos geométricos não-euclidianos.
Cumpre enfatizar que embora esses dois pilares considerados balizem a sustentação teórico-metodológica das ações, relativamente ao desenvolvimento das atividades, conforme foi observado em pesquisa realizada na UFF, no âmbito da formação dos professores de Matemática, apresenta-se uma ampla gama de procedimentos cognitivos, os quais podem vir a problematizar a implementação dos novos conhecimentos geométricos na escola. Foi observada a existência de um amplo rol de prováveis obstáculos cognitivos relacionados a representações semióticas, principalmente na forma de expressões euclidianas (expressadas na linguagem natural) bem como de desenhos, gráficos e diagramas (com características euclidianas), os quais se apresentam intervenientes em processos de resolução de problemas introdutórios às Geometrias não-Euclidianas. No caso das representações gráficas euclidianas, Kaleff observou que elas podem ocorrer mesmo em situações relacionadas a problemas do cotidiano e nos quais não ocorra qualquer menção a termos ou conceitos da Geometria Euclidiana. Além disso, também constatou que, mesmo professores do ensino fundamental e médio, com ampla experiência pedagógica, podem apresentar situações de analfabetismo diagramático (KALEFF, 2005). Estes fatos podem impedir o desenvolvimento da construção de novos conceitos, como também foi constatado no âmbito da elaboração das atividades aqui apresentadas.
O estudo das Geometrias não-Euclidianas traz grandes contribuições para a Escola, pois possibilita uma visão da Matemática como um conhecimento que pode ser contestado, por meio de discussões dos conceitos de verdade matemática e de espaço, já que historicamente o estudo das Geometrias não-Euclidianas começou a partir da tentativa de se provar ou negar o 5º Axioma de Euclides, conhecido também como Postulado das Paralelas. Este postulado afirma que em um plano, dada uma reta e um ponto fora dela existe uma, e apenas uma, reta paralela a esta reta passando pelo ponto dado. Cabe ressaltar que, nos dois últimos séculos, vários tipos de sistemas geométricos surgiram em tentativas de se negar este e outros axiomas euclidianos. Um especial tipo de geometria, a Geometria da Esfera, deve-se ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) e foi criada ao negar a existência de retas paralelas neste axioma. Outros tipos de sistemas geométricos, chamados de hiperbólicos, foram estabelecidos ao se negar a unicidade da paralela (FRANCO DE OLIVEIRA,1995). 
Neste mini-curso, além de atividades envolvendo a Geometria da Esfera será apresentada a Geometria do Táxi, na qual um dos Axiomas de Congruência é negado. Ou seja, apresenta-se um modelo de geometria que tem origem em um sistema axiomático no qual se nega o axioma conhecido, nos livros-didáticos, como o caso de congruência de triângulos LAL, isto é: se dois triângulos possuem dois lados e o ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes, então esses triângulos são congruentes. 
O que se tem observado é que a Geometria Euclidiana tem sido apresentada na escola básica como a única existente, quando de fato é apenas uma pequena parte das Geometrias, pois existem outras, mais amplas, que, muitas vezes, são completamente desconhecida dos alunos e, até mesmo ignorada pelos professores. Estudos realizados na UFF com 53 professores de matemática do ensino fundamental e médio, apontam que desses, quase 7% não sabem o que seja o plano euclidiano, quase 18% desconhecem quais são os seus axiomas e 20% não sabem o que seja o 5º Axioma de Euclides. Além disso, quase 34% não sabem o que são geometrias não-Euclidianas e quase 54% não estudaram estas geometrias nos seus cursos de formação (Kaleff, 2004). 
A partir destas considerações pode-se afirmar que as preocupações com a aprendizagem e com o ensino dos conhecimentos geométricos euclidianos e não-euclidianos, tanto no âmbito escolar, como no da formação de professores de Matemática não podem ser negligenciadas, pois tais conhecimentos assumem importância crescente na matemática escolar, não se mantendo mais restritos ao âmbito da Matemática desenvolvida pelos matemáticos. 
No que se segue, consideram-se os dois tipos especiais de Geometrias, objeto de atenção no LEG, que serão apresentadas neste mini-curso.

Sobre a Geometria do Táxi
As atividades propostas no presente mini-curso serão iniciadas por um tipo especial de Geometria não-Euclidiana designada por Geometria do Táxi (Taxicab Geometry), conforme divulgada por Eugene Krause (KRAUSE, 1975). Esta geometria foi criada, para efeitos didáticos, a partir de uma adaptação de uma das métricas pertencentes a uma família de espaços métricos criados pelo matemático Hermann Minkowski (1864-1909). No Brasil, tem sido divulgada por Bigode no ensino da 8ª Série (BIGODE, 2002).
A Geometria do Táxi é um tipo de geometria para o qual a definição de distância entre dois pontos, habitualmente considerada na Geometria Euclidiana - como a medida do menor caminho entre eles, isto é, medida do segmento de reta entre os dois pontos - é substituída por uma nova. Nesta geometria a distância entre dois pontos é tomada como a soma do valor absoluto da diferença de suas abscissas, com a do valor absoluto da diferença de suas ordenadas.
Cabe enfatizar que a Geometria do Táxi vem ao encontro das necessidades requeridas pelos PCN para as mudanças no ensino da Matemática, pois permite desenvolver os seus conteúdos relacionando-os ao ambiente do indivíduo, possibilitando o surgimento de condições de um ensino significativo.
Nas atividades desenvolvidas com a Geometria do Táxi buscaram-se suas aplicações nas diversas fases do desenvolvimento da aprendizagem, considerando-se desde as crianças da pré-escola até os universitários.
Nas atividades destinadas às crianças, na faixa etária de 5 a 8 anos, das séries iniciais, procurou-se enfatizar a construção do pensamento em torno da orientação espacial e direcional, como requisitos básicos para a introdução de uma linguagem gráfica de orientação cartesiana, fornecendo assim, experiências, a serem utilizadas em uma faixa etária mais avançada. Em faixas envolvendo jovens e adultos, são trabalhados aspectos relacionados à organização lógica e que visem ao desenvolvimento de níveis mais avançados do pensamento geométrico. Para tanto, buscou-se inicialmente explorar atividades envolvendo a distância entre dois pontos e distância de ponto a uma reta; as representações elementares de pontos no plano cartesiano, seguidas de atividades envolvendo lugares geométricos, relativos à circunferência e à mediatriz de um segmento. Nestas últimas atividades, deu-se ênfase às diferentes formas gráficas com que os conceitos euclidianos se apresentam na nova geometria, por meio do estabelecimento de conjecturas sobre as novas formas gráficas obtidas para representar os conceitos em questão. 
Dentre o ferramental manipulativo desenvolvido, criaram-se uma maquete de madeira representando uma cidade; um mapa representando uma vista superior da maquete e um jogo, denominado Caça ao Tesouro, no qual se utiliza o recurso de um geoplano de rede quadrada para representar as situações envolvidas com a maquete.
O outro tipo especial de Geometria não-Euclidiana que será também considerado neste mini-curso é apresentado a seguir.
 
Sobre a Geometria da Esfera
Estima-se que por volta de 350 a.C. o grego Aristóteles mostrou, através da observação de astros e estrelas, que a Terra tinha o formato de uma esfera. Com a evolução da Ciência foi possível verificar que a forma da Terra não é de uma esfera perfeita, mas sim de um elipsóide achatado nos pólos. Apesar disso, no desenvolvimento deste trabalho utilizou-se um formato terrestre esférico. 
Com o desenvolvimento das tecnologias de observação do Universo os cientistas perceberam que existem fatos que a Geometria Euclidiana não seria suficiente para explicar. Estudos que envolvem grandes distâncias, astronomia, óptica e geografia são exemplos de áreas do conhecimento nas quais as noções de Geometrias não-Euclidianas são de grande utilidade. 
Ao apresentar uma proposta para o estudo da Geometria da Esfera para o ensino médio, o professor norte americano István Lénárt pondera que esta geometria auxilia na compreensão dos conceitos euclidianos, pois o aluno pode ser levado a fazer comparações ao expandir as definições euclidianas para a Geometria da Esfera, bem como a compreender como um sistema de axiomas pode ser modelado em vários campos de estudo (Lénárt, 1996). Além disso, considera que o currículo da escola básica norte americana é baseado somente nos conceitos e construções da Geometria Euclidiana. Este fato também tem sido observado no Brasil, pois os livros didáticos dedicados ao nível médio, em sua maioria, não fazem menção sobre a existência de outras geometrias, e quando o fazem, é apenas a título de ilustração. A Geometria da Esfera tem sido tratada por MARTOS (2002) e REIS (2006) que apresentam atividades didáticas e materiais concretos para sua aplicação no Ensino Médio. 
Por outro lado, é interessante se enfatizar que, no trecho dos PCN, referente ao ensino fundamental e citado anteriormente, a Matemática é apresentada como uma Ciência cujo conhecimento é constituído dinamicamente através da história do desenvolvimento humano (MEC, 1998, p.19). Além disso, é salientado o papel do surgimento das outras Geometrias, além da Euclidiana, e da importância de suas inter-relações para o entendimento da realidade do espaço físico. Por outro lado, segundo os parâmetros para o ensino médio, uma das finalidades da Matemática é “desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo” (MEC, 1999, p.254). O que indica que as noções geométricas não-euclidianas, se introduzidas por meio de situações-problema em conexão com outras áreas do conhecimento, como, por exemplo, a geografia, possibilitarão o desenvolvimento destas capacidades. 
No presente mini-curso, pretende-se, além daquelas atividades consideradas anteriormente, apresentar várias outras envolvendo aplicações de alguns conceitos das Geometrias, Euclidiana e Analítica, bem como da Álgebra Linear, tendo como pano de fundo o funcionamento do aparelho conhecido como GPS (Global Positioning System). O Modelo de van Hiele é empregado na medida em que se trabalham os conceitos geométricos a partir da sua visualização, de uma análise de suas propriedades e de sua síntese, muitas vezes, no entanto, sem se atingir a formalidade matemática.  As aplicações didáticas apresentam ainda um confronto entre conceitos básicos da Geometria da Esfera e da Geografia. 
Desenvolve-se o estudo da esfera e seus elementos explorando sua associação com o globo terrestre, por meio de atividades nas quais se utiliza uma grande variedade de materiais concretos, incluindo sua confecção com materiais, de baixo custo e o aparelho denominado esfera de Lénárt (Lénárt, 1996). Desta forma, busca-se mostrar ao professor como conduzir o aluno a uma melhor compreensão e aprendizagem de temas que envolvem conceitos geográficos como paralelos, meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários, os quais são baseados em importantes idéias geométricas. 
Como em Alves (2004), explora-se o estudo da posição relativa de duas ou mais esferas e as relações entre as coordenadas geográficas e as coordenadas cartesianas. Este estudo constitui-se na fundamentação matemática necessária para o entendimento de alguns sistemas modernos de navegação por satélites, em especial do referido GPS.
Além disso, apresentam-se a utilização do globo terrestre e questões que envolvem, por exemplo, o cálculo de distâncias e ângulos sobre a esfera, ou ainda, a confecção de mapas por meio de diversas projeções.
A guisa de ilustração, tecem-se a seguir, algumas considerações sobre o GPS.

Sobre o Instrumento GPS
Os estudos iniciais para desenvolvimento do sistema GPS datam de 1973. O GPS foi projetado de forma que, em qualquer lugar da Terra e a qualquer momento, existam pelo menos quatro satélites acima do plano do horizonte do observador. Esta situação garante a condição geométrica mínima necessária à navegação em tempo real com o sistema. Posteriormente, cientistas e pesquisadores no mundo todo começaram a descobrir e explorar as potencialidades do sistema. Com isto, surgiram aplicações na área da geodésica, geodinâmica, cartografia, etc., as quais atingem níveis de precisão inalcançáveis com os métodos clássicos utilizados até então. 
O sistema, também chamado de NAVSTAR (NAVigation Satellite Time And Ranging) GPS devido às suas aplicações originais de navegação, subdivide-se em três segmentos: espacial, de controle e do usuário (ALVES, 2004).
O segmento espacial é composto pela constelação de satélites. São 21 satélites em operação, com mais três de reserva (total de 24). A função do segmento espacial é gerar e transmitir os sinais GPS (códigos, portadoras e mensagens de navegação).
O segmento de controle é responsável pela operação do sistema GPS. A função principal deste segmento é atualizar a mensagem de navegação transmitida pelos satélites. Para o alcance deste objetivo, o segmento de controle consiste de estações de monitoramento distribuídas pelo mundo. Elas rastreiam continuamente todos os satélites visíveis e estes dados são transmitidos para a estação de controle mestre (Master Control Station), em Colorado Springs, EUA, onde são processados com a finalidade de determinação das efemérides (posição exata do satélite num sistema ortogonal de coordenadas fixado) e das correções aos relógios dos satélites. 
O segmento dos usuários está associado às aplicações do sistema. Refere-se a tudo que se relaciona com a comunidade usuária (receptores, algoritmos, software, etc.) com vistas à determinação da posição, velocidade e/ou tempo.

Esclarecimentos Finais
Todas as atividades, bem como os materiais didáticos aqui arrolados, fazem parte do acervo do LEG. Cabe ainda enfatizar que, o instrumental desenvolvido tem sido intensamente aplicado a licenciandos de Matemática e a professores da comunidade de ensino de Niterói. As atividades têm sido apresentadas em eventos organizados pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática e em pólos de atuação da UFF, no estado do Rio de Janeiro.
Com este mini-curso espera-se estar colaborando com a comunidade de professores na direção de que a Matemática ensinada na escola possa contribuir para a formação de um indivíduo criativo, crítico e consciente da realidade que o cerca, capaz de resolver problemas, relacionar e aplicar o aprendido na vida cotidiana. Acredita-se que esta proposta didática de apresentação das Geometrias não-Euclidianas pode contribuir significativamente na formação de tal indivíduo, pois permite se observar a Matemática não mais como um conjunto de conhecimentos sedimentado e estável. Desta forma, possibilita ao professor levar o aluno a realizar conexões entre o novo e o já conhecido, e ainda a verificar que conceitos e valores podem mudar, ou permanecer os mesmos, de acordo com o contexto considerado. 

Referências Bibliográficas
ALVES, S.A. (2004) Geometria do Globo Terrestre. II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. (disponível pela Internet no site www.bienalsbm.ufba.br)
BIGODE, A.J.L. (2002) Matemática Hoje É Feita Assim - 8ª  S. Rio de Janeiro: FTD.
FRANCO DE OLIVEIRA, A.J. (1995) Geometria Euclidiana. Lisboa: Aberta.
JAKOBS, H. R. (1974) Geometry. Nova York: Freeman.
KALEFF, A.M.M.R. (2004) Da Rigidez do Olhar Euclidiano Ás (Im)Possilidades De (Trans)Formação dos Conhecimentos Geométricos do Professor de Matemática. 2004. 450 f. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Federal Fluminense. Niterói.
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KRAUSE, E.(1975) Taxicab Geometry: an Adventure in non-Euclidean Geometry. Nova York: Dover. 
LÉNÁRT, I. (1996) Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere: Activities Comparing Planar and Spherical Geometry. Berkeley: Key Curriculum. 
MARTOS, Z.G. (2002) O Trabalho Pedagógico Envolvendo Geometrias não-Euclidianas no Ensino Fundamental. Zetetiké - UNICAMP, 10, nº 17/18, 43-71.
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MEC - Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática - Ensino Médio. Brasília: 1999
REIS, J.D.S. (2006) Geometria Esférica por meio de Materiais Manipuláveis. Dissertação de Mestrado. Rio Claro: UNESP.