Diferentes tipos de problemas
no desenvolvimento de diferentes habilidades de Pensamento

Norma Suely Gomes Allevato-UNISAL–Campinas/SP
normallev@uol.com.br

Justificativa teórica
Há muito tempo a Resolução de Problemas tem sido um tópico presente nos currículos de Matemática. O termo "problema" está bastante presente no dia-a-dia de quem trabalha com Matemática, mas, nem sempre, seu uso vem acompanhado de um consciente posicionamento sobre o seu significado. Existem muitas formas de se conceber Resolução de Problemas, cada uma com suas particularidades, finalidades e potencialidades pedagógicas. (ONUCHIC; 1999; ALLEVATO, 2005).
Ao propor um problema aos alunos, o professor deve refletir e analisar os fatos ocorridos durante a resolução e os resultados didáticos obtidos ou não: adequação do problema, processos de resolução, diferentes soluções obtidas, grau de dificuldade, possibilidade de introdução ou extensão de conteúdos matemáticos, de geração de novos problemas, etc. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2006; ONUCHIC, 2004; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005).
Acrescente-se a estes elementos o fato de que a resolução de problemas tem sido considerada a mola propulsora para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio dos estudantes, e tal capacidade constitui um dos objetivos básicos do ensino de Matemática. No âmbito do pensamento e do raciocínio, uma área que exige grande atenção é a do desenvolvimento das habilidades de pensamento de ordem superior, especificamente o pensamento crítico e o criativo (CALIFÓRNIA; 1992). Orientações para os professores trabalharem nesta linha se fazem presentes, não somente nos trabalhos desenvolvidos por alguns educadores matemáticos da atualidade (KRULIK; RUDNICK, 2001, 2005; VAN DE WALLE, 2001, 2006), mas também em orientações curriculares atuais para o ensino de Matemática, no Brasil (BRASIL; 1997, 1998, 1999) e em outros países (NCTM; 2000). 
Por pensamento crítico entende-se a habilidade de analisar uma determinada situação e tirar conclusões apropriadas e corretas a partir dos dados. Isso inclui determinar se há inconsistência ou ausência de dados ou, até mesmo, dados estranhos. O pensamento criativo envolve a habilidade de obter uma solução para um problema, por meio de criação, síntese e aplicação de idéias originais na resolução. Considerando a resolução de problemas como um veículo que conduz os estudantes ao desenvolvimento de sua capacidade de raciocínio, onde se inserem essas duas formas de pensamento, a eles deverá ser dada a oportunidade de experimentar uma variedade de estratégias de resolução de, igualmente, uma variedade de tipos de problemas.
Novas maneiras de conceber a Resolução de Problemas levam a novas formas de trabalho em sala de aula. Atribuir à resolução de problemas a tão nobre função de desenvolver nos estudantes habilidades de pensamento de ordem superior, exige um olhar mais atento aos problemas que serão propostos. Os professores devem incorporar à sua prática a proposição de problemas de tipos variados; que levem os estudantes a ler, escrever, ouvir e falar. É fundamental que os estudantes: leiam o problema cuidadosamente, entendam o que está sendo pedido, resolvam o problema e determinem se a resposta ou solução obtida faz sentido ou não.(KRULIK; RUDNICK, 2001).

Proposta do mini-curso
1.	Tema: Diferentes tipos de problemas no desenvolvimento de diferentes habilidades de pensamento.
2.	Sub-temas: (1)Relações entre a Resolução de Problemas e o desenvolvimento do raciocínio. (2)Pensamento de ordem superior, pensamento crítico e pensamento reflexivo (3)Diferentes tipos de problemas matemáticos. (4)Possibilidades pedagógicas da resolução de problemas nas aulas de Matemática.
3.	Público-alvo: Professores do Ensino Fundamental e do Ensino Médio; alunos de Licenciatura em Matemática; pesquisadores da área de Educação Matemática.
4.	Duração: 4 horas.
5.	Metodologia de trabalho e atividades
O mini-curso será realizado seguindo as seguintes etapas:
(5.1) Introdução (1hora)
Apresentação dos participantes e da proposta do mini-curso.
Breve exposição teórica sobre a resolução de problemas,  as diferentes concepções em resolução de problemas, a função da resolução de problemas na Educação Matemática, diferentes tipos de problemas: 
	(a) Que número faz sentido? - Problemas para os quais é preciso escolher as quantidades (números) que fazem sentido no enunciado.
	(b) Que número está errado? - Problemas resolvidos em que a resolução contém erro no raciocínio (conceitual, de interpretação ou de cálculo). O objetivo é identificar o erro e encontrar uma solução correta.
	(c) O que devemos fazer? - Problemas de final aberto, que os alunos resolvem baseados em suas próprias preferências e experiências e, em seguida, justificam suas soluções.
	(d) Que questões você pode responder? - Problemas apresentados na forma de situações em contém dados numéricos. É solicitado que os alunos elaborem questões que podem ser respondidas a partir dos dados.
	(e) O que está faltando? - Problemas em que uma importante informação (dado) está faltando. Os estudantes identificam o que falta, fornecem o dado apropriado e resolvem o problema.
	(f) Qual é a questão se você sabe a resposta? - Problemas que contém dados, mas não questões. São fornecidas respostas específicas para as quais os alunos devem elaborar questões apropriadas.
		
(5.2) Desenvolvimento (2 horas e meia)
	O trabalho será desenvolvido a partir e através de problemas, ou seja, a metodologia de trabalho adotada será a Metodologia de Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Ela representa uma possibilidade de trabalho para a sala de aula, que será vivenciada pelos participantes do mini-curso, ou seja, para cada tipo de problema apresentado anteriormente, serão seguidas as seguintes etapas: (1)Formar grupos e entregar a atividade: os participantes, organizados em pequenos grupos  (duplas), tentarão resolver o problema proposto. (2)O papel do professor: inicialmente será um observador e, depois, um mediador e incentivador da aprendizagem. Em breves intervenções nos grupos, ele lança questões desafiadoras, leva os alunos/participantes a pensar, acompanha suas explorações e ajuda, quando necessário, em problemas secundários. (3)Resultados na lousa: o professor ou os próprios alunos/participantes registram todos os resultados obtidos (certos, errados, feitos por diferentes processos, etc) pelos grupos. (4)Plenária: o professor chama todos os participantes para uma assembléia plena. (5)Análise dos resultados: são analisadas as resoluções apresentadas e os pontos de dificuldades encontrados pelos alunos são trabalhados. (6)Consenso: sanadas as dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado do problema. (7)Formalização: professor e participantes sintetizam aquilo que se objetivava aprender com o problema e, formalmente, são colocadas as definições, identificadas as propriedades, etc.
Após este trabalho, será realizada uma reflexão de natureza didática com os participantes, orientada essencialmente pelas seguintes questões: (1)Isso é um problema? Por quê? (2)Que tópicos de Matemática poderiam ser trabalhados com esse problema? (3) Para que séries você acredita ser esse problema adequado? (4) Quais as potencialidades deste problema no desenvolvimento do raciocínio dos alunos? (5) Que habilidades de pensamento podem ser estimuladas com esse problema? (6) Que caminhos poderiam ser percorridos para se chegar à sua solução? (7) Você, como professor, teria dificuldade de trabalhar esse problema? (8) Que grau de dificuldade você acredita que seu aluno possa ter diante desse problema? (9) Que outros problemas poderiam ser elaborados a partir deste? Além destas, outras questões podem surgir e poderão ser discutidas.
Certamente não haverá tempo para que os participantes do mini-curso realizem esse trabalho com os seis tipos de problemas apresentados na introdução. De qualquer modo, lhes será oferecido material impresso com exemplos de todos os tipos.
Finalizando esta parte, aos participantes será apresentado um problema retirado de livro didático para que o transformem em um dos tipos de problemas apresentados no mini-curso.
	
(5.3) Conclusão (meia-hora
	Os participantes serão convidados a responder um questionário de avaliação do mini-curso.

Recursos materiais
Retroprojetor, lousa e giz, fichas de trabalho.

Bibliografia
ALLEVATO, N. S. G. Associando o Computador à Resolução de Problemas Fechados: Análise de uma Experiência. 2005. 370 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2005. 
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução De Problemas - Uma nova possibilidade para o trabalho em sala de aula In: Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul, 7., 2006, Águas de Lindóia. Anais do VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. Águas de Lindóia: PUC/SP, 2006. 
BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 1o e 2o ciclos (1997); 3o e 4o ciclos (1998); Ensino Médio (1999). Brasília, DF.
CALIFÓRNIA. Department of Education. Mathematics Framework for California Public School. Sacramento, California, 1992.
KRULIK, S.; RUDNICK, J. A. Roads to Reasoning – Developing Thining Sills Through Problem Solving. Chicago: McGraw-Hill, 2001.
_______ . Problem-Driven Math – Applying the Mathematics Beyond Solutions. Chicago: McGraw-Hill, 2005.
National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM, 2000.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas.  In: BICUDO, M. A. V.(Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p.199-220.
_______ . A Resolução de Problemas e o trabalho de ensino–aprendizagem na construção dos números e das operações definidas sobre eles In: ENEM, 8., 2004, Recife. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife: UFP, 2004. 
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática-pesquisa em movimento. 2ed. São Paulo: Cortez, 2005. p.213-231.
VAN DE WALLE, J. A. Teaching Through Problem Solving. In: VAN DE WALLE, J. A. Elementary and Middle School Mathematics. New York: Longman, 2001. p.40-61.
Van de Walle, J. A; LOVIN, H. L. Teaching Student-Centered Mathematics. New York: Pearson, 2006.