ATIVIDADES CONTEXTUALIZADAS PARA O ENSINO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Mestre: Ricardo A. F da S. Braz – UFRPE/PPGEC – ricardobraz2007@yahoo.com.br
Ana Paula Nunes Braz Figueiredo – UFPE/Graduação - apnbf@yahoo.com.br
	
INTRODUÇÃO

Uma abordagem do tema o saber pedagógico, nos dias atuais, acreditamos ser uma exigência natural que tratemos de questões contextualizadas para o processo de formação do cidadão. Processo esse, que pode ser conduzido pelo ensino, como teoria, e que apresenta como conseqüência da prática em sala de aula.
Não podemos mais freqüentar a sala de aula, deixando de lado questões sócio-culturais e afetivas, diversas pesquisas apontam para este norte, e nosso rumo não deve ser diferente desse para que possamos ter sucesso na formação do cidadão. Sendo assim, conhecer o ambiente de nossos alunos pode favorecer a construção em sala de aula de vínculos culturais e afetivos, especificando mais os exemplos nas questões que elaboramos.
Nesse sentido, haja vista a nossa pesquisa de mestrado, e ainda, de algumas intervenções em sala de aula com colegas professores de matemática, ou em cursos de especialização em Educação matemática conduzem nossos olhares para esse viés. Dessa forma, não poderíamos deixar de contribuir com aspectos voltados para a pesquisa de situações com seqüência de atividades para o ensino da função exponencial. Bem como levar a nossa experiência como docente para os colegas professores de matemática e trocarmos idéias articulando discussões sobre o saber a ser ensinado.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Segundo Severino (1998, p.33), Antes de perguntar como o problema se coloca em relação ao conhecimento, é preciso saber qual o lugar que o conhecimento ocupa em nossa existência.
Ainda segundo Severino (1998, p.33) sem dúvida, a substância do existir é a prática, ao passo que o conhecimento tende naturalmente para a teoria.
Diante dessas contribuições enveredamos nosso trabalho aliando a teoria e a pratica na construção do processo de formação do conceito por meio da informação articulada em uma seqüência de atividades.
Inicialmente iremos apresentar uma breve história a respeito dos materiais que iremos trabalhar na seqüência de atividades como material didático de apoio.
A Torre de Hanói é um jogo que tem a seguinte estrutura: é um jogo de uma pessoa. Consiste de uma base retangular sobre a qual estão três pinos, e em um deles estão encaixados sete discos de diâmetros distintos, formando uma pilha que se denomina torre, dispostos do maior para o menor a partir da base. Tendo como objetivo principal do jogo transportar, no menor número de movimentos possível, a torre de um pino para o outro. Há duas regras básicas: a primeira é que só pode ser transportado um disco de cada vez e, a outra, é que um disco maior não pode sobrepor o menor.
Quanto aos conteúdos subjacentes ao jogo, observamos contagem, função, progressão, paridade, conceito de diferenciação de áreas, conceito de indução finita, dentre outros.
Para habilidades a serem envolvidas, destacam-se estabelecimentos de planos de estratégia, atenção e concentração.
Esse jogo tem sido utilizado com variantes distintas, tanto na forma do brincar quanto no número de discos, tendo em vista os diversos níveis escolares a serem aplicados, a partir da pré-escola.
A partir da quarta série, com duas regras básicas, podem-se fazer explorações interessantes para descobrir a estratégia usada. No ensino médio, podemos utilizá-la para desenvolver noções ligadas ao princípio da indução finita e das progressões geométricas. No ensino superior, am álgebra abstrata, também pode ser usada para introduzir o princípio da indução finita.
Ao propor o jogo com a Torre de Hanói, formado com todos os discos, a uma criança, devemos pensar na possibilidade de desistência após alguns minutos de tentativas, pela enorme quantidade de movimentos exigidos. Neste caso, torna-se necessário uma explicação, em uma intervenção, do professor de matemática na condução do jogo ao objetivo desejado.
Assim sendo, podemos sugerir a construção inicial com um número mais reduzido de discos, permitindo que a criança desafiada possa descobrir uma forma mais atrativa de atingir seu objetivo, efetuar as.transferências de discos para os pinos vizinhos, com o menor número de movimentos possível, criando uma regra generalizada.
Outro recurso que iremos utilizar em nossa seqüência de atividades vem da Arte de dobrar papeis, como denominamos o origami, mais adiante iremos apresentar uma breve história.
As dobraduras com recorte dão sentido ao que denominamos de kirigami, mais popularmente conhecido por origami, a diferença é considerada apenas em outros países, não no nosso, quando do recorte da peça, antes origami depois kirigami.
Afirmam alguns estudiosos que o origami, trabalho correspondente à arte de dobrar papéis, é tão antiga quanto à existência da primeira folha de papel na China, obtida há aproximadamente 1800 anos pela maceração de casca de arvores e restos de tecidos.
Quando o papel foi introduzido no Japão, entre os séculos VI e X, por monges budistas chineses, era acessível apenas à nobreza, por tratar-se de um produto de luxo, utilizado em festas religiosas e na confecção dos moldes de quimonos. Os japoneses transmitiam as figuras que criavam através da tradição oral, quando as formas eram passadas de pais para filhos. Como nenhum esquema de dobradura tinha sido registrado em livros ata então, somente aquelas mais simples eram mantidas através do tempo.
As primeiras instruções escritas sobre Origami surgiram em 1797, com a publicação do livro “Senbazuru Orikata” (como dobrar mil garças). Somente com a fabricação do papel em larga escala, o restante da população começou a aprimorar esta arte secular. No Japão, a partir do ano de 1876, passou a fazer parte integrante do currículo escolar.
A palavra “Origami” surgiu em 1880, a partir da união das palavras “ori” (dobrar) e “kami” (papel). Os árabes trouxeram o segredo da fabricação do papel para o norte da África e, no século VIII, os mouros levaram este segredo até a Espanha. A religião dos mouros proibia a criação de qualquer figura simbólica, como homens ou animais. Deste modo, as dobraduras em papel eram usadas apenas para confeccionar figuras geométricas e estudar os elementos presentes nas formas e dobras.

METODOLOGIA

Inicialmente iremos distribuir as atividades para que os grupos, formados em duplas possam desenvolve-las e chegar a uma solução, utilizando o material de apoio como recurso didático. A seqüência de atividades será desenvolvida em parte e momentos distintos, procedendo na integra por todas as duplas no mesmo período estipulado por nós para que os integrantes possam interagir em seguida com todos que estejam participando. Essa discussão coletiva servirá de destaque para nós como observação na construção do saber a ser ensinado em sala de aula.
Teremos a primeira atividade, o desafio, como tema sugerido por ser encontrada nos livros didáticos destacadas dessa forma, e que deverá provocar uma discussão com relação às propriedades de crescimento e decrescimento exponencial, relacionada os aspectos da resolução da atividade com o resultado determinado pelo desenvolvimento.
Para esta atividade os participantes devem lançar mão de pedaço de EVA medindo 0,30x0,30x0,02 centímetros, tesoura, régua, e uma folha impressa com a questão proposta.
As concepções dos participantes, a respeito do referido conceito podem favorecer a construção do conhecimento, quando associadas às propriedades que permeiam e aproximam os mesmos da saber a ser aprendido proposto pelo conteúdo.
Ainda nessa atividade, os participantes devem preencher o quadro que relaciona o número de cortes no emborrachado e a espessura da pilha de pedaços recortados, montada após os recortes, verificando a fração do pedaço da folha final em relação ao pedaço da folha inicial. Os participantes distribuídos em duplas deverão efetuar os recortes e fazer o empilhamento de modo a observarem no quadro, a noção de crescimento e decrescimento exponencial, permitindo assim a formação conceitual de forma dinâmica, julgada mais compatível com sua formulação matemática e um tanto eficiente para o aprendizado do conceito. Uma seqüência envolvendo material manipulativo com recorte em folha de emborrachado, permite uma situação de ação prática e motivadora para a aplicação por tratar de um material de fácil acesso a todos.
Em seguida teremos a segunda atividade que ira relacionar o material manipulativo, o E.V.A. com a questão proposta. Onde os participantes deverão recortar o emborrachado e verificar a semelhança proposta no quadro efetuando o preenchimento de acordo com a relação do procedimento manipulativo. Após as duplas terem efetuado o preenchimento do quadro iniciaremos uma discussão através do questionamento sugerido em relação com o conceito de função exponencial.
Ainda nessa atividade os participantes precisam identificar na quantidade de movimentos de cada disco, e o conjunto de todos os discos, um crescimento exponencial e uma relação entre o número de discos e o número mínimo de movimentos. Para isso, cada dupla receberá um exemplar da Torre de Hanói, com um roteiro impresso, e as atividades a serem desenvolvidas.
Esta atividade, efetuada com a Torre de Hanói nos traz, implicitamente, a aplicação de conceitos fundamentais à caracterização da função exponencial estabelecida pelo crescimento e decrescimento exponencial, quando da observação e análise dos dados apresentados nos quadros após o preenchimento das lacunas. Chamamos atenção para o fato de que não é diretamente identificada a relação exponencial no simples jogar com a Torre de Hanói; fazendo uma relação do disco da base da torre com o número de movimentos necessários a sua locomoção para um pino qualquer, essa relação validará o conceito de crescimento exponencial.
Na terceira Atividade os participantes irão se deparar com a Torre de Hanói, um jogo que envolve propriedades de crescimento e decrescimento exponencial.
Nesse momento iniciaremos com questionamentos para que os participantes possam refletir a respeito do crescimento e decrescimento exponencial sugerido no jogar com a Torre de Hanói. Reflexões no jogar, bem como na relação com as propriedades que favorecem a formação do conceito da função exponencial. Sabemos que o saber a ser ensinado depende de como o professor de matemática faça o recorte ou ainda a seleção do conteúdo a ser trabalhado com seus alunos em sala de aula. Assim com uma contextualização pode ser bem contemplada quando o professor conhece seus alunos e o ambiente de convívio social desses alunos. Dessa forma, facilita a seleção dos aspectos que possam conduzir, nortear, organizar os dados para a construção de questões contextualizadas.
Na quarta atividade propomos questões contextualizadas para que possamos articular o conteúdo com o dia a dia dos alunos em situações reais. São três questões que colocamos como exemplos que acreditamos serem contextualizadas no ponto de vista dos alunos que trabalhamos e ainda no que diz respeito ao lado sócio-cultural.
Essa atividade, consta de três questões impressas, onde a busca de uma solução requer que se façam algumas considerações a respeito do crescimento exponencial, elaborada considerando questões contextualizadas pelo cotidiano dos alunos, na tentativa de dar sentido ao saber a ser ensinado.
A resolução desse primeiro problema, caracteriza-se pela busca do crescimento exponencial e trata de uma questão dentro do contexto social de nossos alunos, sendo uma proposta de compra e venda de um cavalo da raça puro sangue. Na situação, o valor de venda do cavalo é obtido a partir da quantidade de dentes que o mesmo possui no ato da negociação do animal. Esta relação com o valor de venda do cavalo e a quantidade de dentes, permite um crescimento exponencial como resultado para o preço final do animal.
Podemos verificar que na primeira alternativa, existe uma relação de crescimento exponencial, fato que não acontece na segunda alternativa, pois o valor fixo para cada dente apresentado permite um resultado linear: basta multiplicar o valor de um dente pela quantidade total de dentes do cavalo.
Nesta atividade propomos como objetivo, permitir que os participantes identifiquem o modelo de crescimento exponencial e não da relação como um modelo linear de função constante.
No segundo problema , apresentamos uma questão contextualizada que promove a ação de um pai com seus dois filhos na distribuição de suas mesadas da seguinte forma: o filho mais novo receberá sua mesada em um modelo de crescimento exponencial. Dessa forma, os participantes das duplas deverão identificar a distribuição dos valores de mesada para o filho mais novo.
O terceiro problema, aborda a compra de uma moto, por um cliente que freqüenta a concessionária, em prestações de forma que as duplas devem refletir e escolher dentre as alternativas de pagamento oferecidas, a mais vantajosa no sentido de pagar o menor valor total. Esta questão foi sugerida por um aluno nosso quando conversávamos em sala de aula, e na ocasião havia existido uma proposta dessa para um parente do aluno, que dizia ter ouvido a discussão em casa quando assistia televisão, na hora do lanche da tarde.

Atividade 1: Desafio

1.	Considere que uma folha de emborrachado tenha espessura de dois milímetros. Quantas vezes teríamos que recortar essa folha, ao meio, e empilhar os pedaços obtidos, para que a altura da pilha tenha, em espessura, um valor numérico aproximado a quatro mil milímetros ou quatro metros?

Nessa atividade os participantes devem resolvê-la apenas com a folha impressa e o conhecimento que eles apresentam no momento. Neste instante não haverá nenhum recurso didático para auxiliá-los.

Atividade 2	

Nesta atividade os participantes receberam a folha de emborrachado, como material de apoio, que dará suporte a resolução da questão. Sendo assim, já estamos introduzindo a arte das dobraduras com o kirigami, ou origami mais precisamente.

2.	Utilizando a Folha de E.V. A., com espessura de 2 milímetros, preencha a quadro abaixo:
Número de Recortes	Espessura da Pilha total de pedaços recortados	Fração do pedaço em relação à folha inicial	
0	2	1	
1			
2			
3			
4			
...			
...			
n			

•	Você consegue identificar alguma relação matemática nessa atividade?
•	Em caso afirmativo, qual?

Diante do que foi apresentado aos participantes e refletindo sob o quadro acima devemos discutir como o conhecimento pode chegar em sala de aula dentro de um contexto.

Atividade 3: com a Torre de Hanói – como jogar:

Objetivo: Transportar a Torre, com o menor número de movimentos possível, para um dos outros pinos, o qual pode ser previamente determinado ou não.

Regras: 1. Só deve mover apenas uma peça de cada vez;
              2. Uma peça maior jamais poderá ficar sobre uma menor.

Reflita sobre as questões abaixo e em seguida preencha os quadros que seguem:

•	É possível chegar ao objetivo desejado?
•	Caso seja possível atingir o objetivo, qual o procedimento mais eficaz, ou melhor, qual o menor número de movimentos necessários para atingir o objetivo?
•	Existe uma regra, um algoritmo de execução, que permita efetuar os movimentos sucessivos dessa estratégia mais prática?
•	Existe, nessa atividade, alguma relação matemática entre o número n de peças da torre e o número mínimo A(n) necessário para efetuar a sua transferência do pino de origem para o pino final? Existe uma função matemática A(n), da variável n?
•	Esse número mínimo A(n) é o mesmo quando tomamos como pino final qualquer dos dois pinos que se encontram vazios, no início do jogo?
•	Cresce muito esse número mínimo de movimentos, com a quantidade de peças do jogo? Em termos matemáticos, A(n) cresce muito com a variável n?
•	Como seria a estratégia mais simples, para atingirmos o objetivo final, quando mudamos o número de peças?

Estes questionamentos provocam discussões que permite a análise da seleção do conteúdo a ser ensinado para ser exibido em sala de aula, pois identificamos diversos aspectos que são mostrados na seleção de um conteúdo a ser trabalhado em sala de aula.
Não podemos deixar de lado a variável tempo, quando temos em torno de 45 minutos para expor o conteúdo selecionado e transmitir de forma a ser aprendido.

Quadro 1: Número mínimo de movimentos dos discos da Torre de Hanói, para transportar a mesma de um pino para outro, considerando o disco da Base.
Número do disco da Base	Número Mínimo de Movimentos dos discos	
N	A(n)	
1	1	
2		
3		
4		
5		
6		
...	...	
n		

No quadro acima destacaremos o crescimento exponencial que pode ser identificado em uma fórmula matemática, do tipo da função exponencial, e em sua representação numérica, o mesmo não acontecendo no quadro a seguir.

Quadro 2: Número Mínimo de Movimentos dos discos da Torre de Hanói, para transportá-la de um pino para outro.
Número de Discos	Número Mínimo e Movimentos da Torre	
N	A(n)	
1	1	
2	3	
3		
4		
5		
6		
...	...	
n 		

Neste quadro, como citamos anteriormente, a título de informação acontece um crescimento porém este não é exponencial. Nesse caso, temos uma função composta e não a função exponencial característica.
Esta análise é importante por identificarmos que os livros didáticos nem sempre trazem essas informação com relação à análise das características das funções. Acreditando serem relevantes destacar as relações das funções, não apenas as exponenciais é que destacamos esse comentário.

Atividade 4: Problemas contextualizados.

•	Qual das opções você escolheria como financeiramente a mais vantajosa para comprar um cavalo puro sangue:
i.	R$1.000,00 pelo primeiro dente, R$2.000,00 pelo segundo, R$ 4.000,00 pelo terceiro dente e assim por diante.
ii.	R$5.000,00 por cada dente.
iii.	Por que, justifique?

•	Um pai resolve distribuir uma mesada para cada um dos dois filhos da seguinte forma:
i.	O filho mais novo receberá R$1,00 no primeiro mês e dobra a quantia a cada mês em relação ao mês anterior;
ii.	O filho mais velho receberá R$150,00 por mês e com aumento da mesma quantia a cada mês, ou seja, mais R$150,00 a cada mês;
iii.	De acordo com essas condições qual o filho que receberá maior quantia após 12 meses? Justifique.

•	Na compra de uma moto, uma concessionária estava oferecendo as seguintes propostas aos clientes:
i.	O cliente levaria a moto para pagar em 15 meses com parcelas iniciando por R$2,00 e dobrando esse valor mês a mês até o prazo final.

ii.	O cliente efetuaria os pagamentos mensais com parcelas fixas de R$200,00.

Em qual das opções de pagamento o cliente teria mais vantagens financeiras?

Dessa forma as duplas devem analisar a melhor opção financeira para o cliente considerando as condições apresentadas e destacá-la defendendo com argumentos. Esses aspectos nos conduziram ao debate com o grupo formado pelos participantes presentes.
REFERÊNCIAS

FOSSA, J.A. Ensaios Sobre a Educação Matemática. Série Educação n.2, Belém: EDUEPA, 2001.

FREITAS, J.L.M. Situações Didáticas. Em Educação Matemática: Uma Introdução / Sílvia Dias Alcântara Machado. et. al. São Paulo: Educ. 1999.

GALVEZ, G. Didática da Matemática. In Parra. C. & Saiz. I. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

FAZENDA, I. C. A. Didática e Interdisciplinaridade.  Campinas, São Paulo: Papirus,p.33. 1998.

COLL, César. Aprendizagem Escolar e Construção do Conhecimento. Trad. Emília de Oliveira Dihel. Porto Alegre. Editora Artes Médicas, 1994. 

MENEZES, J. E. A Interação do jogo matemático- alunos em atividades extra-classe: o Jogo do NIM. Dissertação de Mestrado. UFPE, 1996.

PARRA, Cecília; et. al. Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas, trad. Juan Acuña Llorens, Porto Alegre, Artes Médicas, 1996. 

SANTOS, M. C. Algumas Concepções sobre o Ensino-Aprendizagem de Matemática; Recife; Artigo publicado em Educação Matemática em Revista, número 12, Ano 9.