MATEMÁTICA E DEFICIÊNCIA VISUAL

Jorge Carvalho Brandão
E.E.F. Instituto dos Cegos
diajo@bol.com.br

1). INTRODUÇÃO

Quando professor de Matemática na Escola de Ensino Fundamental e Médio Presidente Roosevelt (em Fortaleza), tive a oportunidade de trabalhar com alunos deficientes visuais. Até então, tinha como prática docente a idéia de que os alunos compreenderiam melhor a Matemática por meio de exercícios associados à realidade, feitos em quantidade. 
Com a presença dos alunos deficientes visuais tornou-se necessário uso de materiais concretos, como tangram e o material dourado, bem como o uso do próprio corpo dos discentes para a formação ou compreensão de conceitos matemáticos.  Por que fazer uso do corpo?
Ora, sendo o aluno deficiente visual, desde cedo é trabalhada sua percepção espacial. Desta forma, conhecer-se é algo de grande valia para uma locomoção independente. E essa locomoção independente é adquirida através da Orientação e Mobilidade.
A Orientação e Mobilidade serve para ensinar o deficiente visual a se locomover em público fornecendo-lhe percepção espacial e conhecimento do próprio corpo, sendo desenvolvidas técnicas para uma vida independente (BRASIL, 2002).
Como professor na área de Orientação e Mobilidade da Escola de Ensino Fundamental Instituto dos Cegos de Fortaleza, começamos a trabalhar a Matemática a partir dessa área do conhecimento.
A Matemática, a qual é considerada uma das disciplinas de maior dificuldade no tocante à abstração de conceitos adquiridos, tais como trigonometria e geometria no Ensino Fundamental, para videntes, Brasil (1998), também o é para deficientes visuais, de acordo com Barbosa (2003) e Abéllan et alli (2005). Sendo assim, começamos a perguntar: Como descrever procedimentos para trabalhar os mencionados conteúdos matemáticos, contemplando tanto deficientes visuais quanto videntes?
O que propomos para solucionar tais dificuldades relacionadas com a abstração de conceitos adquiridos?
Podemos partir de conhecimentos prévios dos estudantes antes deles entrarem na escola, conforme ressalta Vygotsky (1988). Deste modo, jogos e brincadeiras que fazem parte do cotidiano dos alunos podem ser explorados relacionando-os com a Matemática (BICUDO, 1999).
Com base em tais questionamentos, surgem os seguintes:
Para alunos videntes, quais as principais dificuldades na aprendizagem de Matemática? Quais as vantagens do uso de material concreto e de jogos na aprendizagem da Matemática? 

2). REVISÃO DA LITERATURA

O aprendizado das crianças começa muito antes delas freqüentarem a escola. Qualquer situação de aprendizagem com a qual a criança se defronte na escola tem sempre uma história prévia (VYGOTSKY, 1988).
Sabendo que a interação da criança com o meio, em relação aos estímulos, desempenha um papel ativo no processo de aprendizagem, segue-se que a atitude desenvolvida na criança durante os primeiros anos de escolarização determinará o seu crescimento intelectual e o futuro aproveitamento do seu potencial criador (BARBOSA, 2003).
Assim, visando o desenvolvimento e aprimoramento dos estímulos dados às crianças deficientes visuais, para o ensino de Geometria, toma-se como base uma Geometria intuitiva, em que as crianças a partir da Pré-Escola devem realizar inúmeras experiências tanto com o corpo quanto com objetos, visando o desenvolvimento do senso espacial. 
É possível relacionar atividades cotidianas de alunos deficientes visuais fazendo uso conjunto de técnicas de Orientação e Mobilidade com conceitos de Geometria Plana, de modo que o conhecimento adquirido com o próprio corpo venha a ser abstraído, conforme Brandão (2006). 

2.1. Uso do corpo como apoio na aprendizagem da Matemática (Geometria Plana)

De que modo o conhecimento geométrico adquirido com o corpo pode ser abstraído? Gândara (1994) responde parcialmente a esta pergunta por meio da dança. Com efeito, por meio da repetição de passos e movimentos corporais e sintonia com uma música, é formada uma consciência rítmica.
	Entende-se por consciência rítmica o conhecimento do próprio corpo e os movimentos que devem ser feitos – levantamento de pernas para a direita ou para frente, por exemplo – diante de determinada música. Repetidas vezes.
Ainda sobre o uso do corpo na aquisição de conhecimentos, Saxe (1981) apud Flavell, Miller e Miller (1999) destaca que a Matemática foi sendo desenvolvida em função das necessidades sociais. O uso do próprio corpo, como os dedos das mãos, era a maneira mais natural de contagem. Ainda hoje existem tribos na Austrália e na Nova Guiné que construíram números relacionando-os com parte do corpo.
Brandão (2004) parte do princípio que o conhecimento que o aluno deficiente visual já tenha de seu corpo, em atividades cotidianas, como andar, desviar de um obstáculo, entre outras, pode servir para inserir conceitos matemáticos. Tais conceitos são apresentados de uma maneira natural, sem formalismo matemático inicial, de modo que o aluno vivencie aquilo que está aprendendo.
De maneira gradativa são apresentados os conceitos formais. Exemplificando: a idéia de ângulo. Começamos com braço–cotovelo–antebraço. Em seguida a ampliamos para o ato de virar à direita ou à esquerda (tipos de ângulos) e assim sucessivamente.
Já que a escola regular tem alunos deficientes visuais incluídos, destacamos...

2.2. A inclusão de alunos deficientes visuais e a participação docente

Como os alunos deficientes visuais estão incluídos em escolas regulares é importante reconhecer o papel do professor regente, como agente do processo diagnóstico e encaminhamento da criança com necessidades especiais. No contexto da escola inclusiva, o professor itinerante deverá atuar ao lado do professor regente da classe comum visando uma maior integração entre os alunos incluídos e os demais membros da sala de aula (BAUMEL et alli, 2001). 
Professores itinerantes são especialistas que acompanham alunos deficientes visuais em escolas regulares. Desta forma, professores regentes de sala de aula terão do professor pesquisador, o qual acumulará as funções de itinerante e de responsável pela Orientação e Mobilidade, apoio no tocante ao desenvolvimento de técnicas e métodos uso de materiais concretos, tais como tangram e blocos lógicos.
Atualmente percebe-se uma participação pouco expressiva do professor regente quanto ao atuar com alunos deficientes visuais, conforme observado em conversas com professores itinerantes e em mini-cursos realizados na Escola de Ensino Fundamental Instituto dos Cegos para professores que têm alunos deficientes visuais em sala de aula. O professor regente de sala de aula deve ser incluído na equipe interdisciplinar. 
Assim sendo, uma pergunta que se coloca é: De que forma os professores de sala de aula poderiam participar ativamente no processo de inclusão?
Para um melhor atendimento dos alunos deficientes visuais os professores regentes poderiam assumir as seguintes funções: organizar e proporcionar atividades integradas com professores e alunos das diferentes séries existentes na escola, com o objetivo de uma efetiva inclusão do aluno portador de deficiência visual; conscientizar a comunidade escolar de que o aluno com deficiência é pessoa com potencialidades e desenvolver trabalho integrado com a família (BAUMEL et alli, 2001).

3. MINI – CURSO

	Para um curso com quatro horas de duração, estamos organizando-o do seguinte modo:
1º. Momento (30 minutos): Dividir a turma em pequenos grupos de quatro ou cinco pessoas. Alguns participantes, de cada grupo, serão vendados e utilizarão bengalas longas. Os outros farão observações sobre postura, alinhamento, entre outras, dependendo da sala onde for realizado o curso.
2º. Momento (60 minutos): Explorar a geometria através do corpo (Geumetria); conceitos tais como paralelismo, perpendicularismo, ângulos, etc. serão neste momento relembrados e interpretados de acordo com a ótica do cego. Estando o aluno com deficiência visual incluído, atividade aqui proposta é útil para ambos os discentes (com ou sem deficiência visual).
3º. Momento (90 minutos): Trabalhando com papéis. Justificar algoritmo da soma de frações bem como produtos notáveis. Fazer contas de cabeça, para produto de dois números com dois algarismos, será estimulada a partir dos produtos notáveis.
4º. Momento ( até 60 minutos):  Abertura para maiores esclarecimentos, leitura e indicação de textos e avaliação do mini – curso.

3.1. Conteúdos a serem trabalhados:

3.1.1. Geometria através do corpo (Geumetria)

Abordando a Geometria

Sabendo que a interação da criança com o meio desempenha um papel ativo no processo de aprendizagem, segue-se que a atitude desenvolvida na criança durante os primeiros anos de escolarização determinará o seu crescimento intelectual e o futuro aproveitamento do seu potencial criador (BARBOSA, 2003).
Assim, para o ensino de Geometria, toma-se como base uma Geometria intuitiva, onde as crianças a partir da Pré-Escola devem realizar inúmeras experiências tanto com o corpo quanto com objetos, visando o desenvolvimento do senso espacial. Principalmente crianças deficientes visuais.
Vale ressaltar, conforme Machado (1993), que os primeiros conhecimentos de natureza geométrica derivaram de resultados empíricos relacionados com medições de terras, construções arquitetônicas, determinação de áreas e volumes, como no Antigo Egito. Deste modo, é possível caracterizar o conhecimento geométrico através do tetraedro epistemológico cujas fases se articulam como as de um tetraedro. As faces de tal tetraedro (associado às fases) são: a Percepção, a Construção, a Representação e a Concepção.
Percebemos para construir ou quando construímos, para representar ou quando representamos; concebemos o que pretendemos construir, com mediação das representações ou construímos uma representação para facilitar a percepção. Mesmo as concepções mais inovadoras têm como referência construções ou percepções realizadas outrora, segundo Sampaio e Chaves (2003).

Geumetria

Partindo dos conceitos primitivos de ponto, de reta e de plano, considere a planta de um mapa de certa cidade. Esta planta no papel pode ser considerada como plano. As ruas podem se caracterizar como retas e locais específicos, tais como igrejas, escolas ou lojas comerciais seriam os pontos.
O aluno dentro de uma escola: o piso da escola é o plano, corredores correspondem às retas e cadeiras seriam pontos.
	A seguir, seguem-se algumas técnicas de Orientação e Mobilidade com as respectivas ilustrações geométricas (que não são únicas):

T1 – Formação de Conceitos – Esquema Corporal:
Construir o conceito da imagem do próprio corpo pela inter-relação indivíduo-meio, identificando as partes do corpo que serão usadas no ensino das técnicas básicas de Mobilidade: a altura da cintura, cabeça para cima, pé direito, etc.
Geometricamente: Podemos inserir a idéia de ângulo: braço-cotovelo-antebraço. Destacamos também a idéia de interseção de reta e plano quando relacionamos um pé contido no piso (plano) e respectiva perna (reta). 

T2 – Objetos Fixos:
Familiarizar-se com objetos fixos e suas características como ruas, meio fio, pontes, casas, paradas de ônibus entre outros que podem servir como referência.
Geometricamente: Relacionar alguns desses objetos referenciais como pontos (parada de ônibus, uma casa específica, etc) contidos em uma reta (rua dada). Interseção de retas (encontro de ruas) bem como posições relativas de retas (ruas paralelas, perpendiculares, etc).

T3 – Posição dos objetos no espaço:
Durante a instrução, o aluno é orientado a conhecer todos os objetos significativos de um determinado percurso, para que ele possa construir um mapa mental do trajeto percorrido.
Geometricamente: Relacionar alguns desses objetos referenciais como pontos (parada de ônibus, uma casa específica, etc) contidos em uma reta (rua dada). Interseção de retas (encontro de ruas) bem como posições relativas de retas (ruas paralelas, perpendiculares, etc).  Determinadas paredes fornecem idéias de planos perpendiculares ao plano que se anda. Uma ladeira já é um plano não perpendicular ao piso; analisar posições de paredes em relação a dados pontos referenciais...

T4 – Direções:
Utilização do sol, como indicador de direção, determinando sua posição em relação aos objetos. De acordo com o nível de compreensão, o aluno deve aprender o uso da bússola, o significado dos pontos cardeais e os termos: direita e esquerda, frente, atrás, para cima e para baixo.
Geometricamente: Além de ponto, de reta e de plano podemos trabalhar paralelismo, perpendicularismo e ângulos. Com efeito se um aluno tem a necessidade de virar para a direita, por exemplo, ele tem que saber que seus pés devem formar um ângulo reto, em relação ao percurso dado, e seu corpo deve acompanhar tal ângulo.

T5 – Contorno:
Ao encontrar um objeto no meio do caminho, o aluno deve contorná-lo, voltando ao mesmo caminho sem perder a orientação.
Geometricamente: Paralelismo de retas e teorema de Tales. Com efeito, estando um aluno andando em uma calçada e havendo um carro estacionado sobre ela (algo comum!), caso ele tenha dado dois passos após virar para a direita, ao virar para a esquerda (para andar em linha reta, paralelamente ao seu trajeto inicial) e contornar o carro, para retornar ao percurso antes do carro, deverá virar para a esquerda e dar pelo menos dois passos. Desta feita pode ser abordado o teorema de Tales no tocante ao tamanho dos passos necessários para o contorno de dado objeto.

T6 – Localização e alinhamento do som:
Determinar a origem do som somente pela informação auditiva. Através dessa informação, o aluno toma decisões importantes tais como: origem, direção e distância. Sendo determinada à origem e a direção do som, o aluno pode, por exemplo, determinar uma corrente de tráfego e o ângulo a ser adotado para atravessar uma rua.
Geometricamente: Dados dois pontos (um aluno e um dado objeto que esteja produzindo um determinado som, como caixa de som de uma lanchonete, por exemplo) podemos traçar uma reta (percurso entre aluno e lanchonete) ou podemos formar uma outra reta (percurso realizado pelo aluno após virar para certo lado para afastar-se do objeto sonoro) dado um ponto (aluno) e ângulo entre retas (percurso que o aluno estava e novo percurso ao mudar de caminho).

3.1.2. Trabalhando com papéis
	
Com auxílio de papéis queremos argumentar: a/b + c/d = (ad + bc)/cd; a(b + c) = ab + ac; 
a(b – c) = ab – ac; (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a – b)² = a² – 2ab + b²; a² –  b² = (a – b)(a + b); 
a² + b² = c².

Material necessário:
•	05 folhas de papel A4 ou ofício, limpo ou rabiscado.
•	01 régua e
•	01 lápis ou 01 caneta.

Pegando uma folha de papel, que tem o formato de um retângulo, vamos transformá-la em um quadrado.

Vamos seguir as seguintes instruções:
(a)	Sejam A, B , C e D os quatro vértices, sendo AB e CD os lados menores e BC e AD os lados maiores.
(b)	Pegar o vértice D e levar para o lado BC de modo que o lado DC fique sobre o lado BC.
(c)	Seja E em BC tal que CE = CD.
(d)	Pegar o vértice C e levar para o lado AD de modo que o lado DC fique sobre o lado AD.
(e)	Seja F em AD tal que DF = CD.
(f)	Com a régua alinhada passando pelos pontos E e F, cortar o papel.
(g)	FECD é um quadrado (por quê?).

Agora, vamos pegar o retângulo ABEF e vamos dividí-lo ao meio em relação ao lado BE.
Repare que os dois retângulos são idênticos.

a/b + c/d = (ad + bc)/bd:

Vamos tentar assimilar tal resultado via exemplos numéricos. ½ + 1/3.
(a)	Pegar a primeira tira e dobrá-la ao meio (em relação ao maior lado).
(b)	Pegar a outra tira e dobrá-la em três partes iguais (em relação ao maior lado).
(c)	Note que as tiras estão de tamanhos diferentes.
(d)	Abrindo a primeira tira, vamos hachurear uma das duas partes para caracterizar 1 de 2, isto é, identificar ½.
(e)	Abrindo a outra tira, vamos hachurear uma das três partes para caracterizar 1 de 3, isto é, identificar 1/3.
(f)	Voltar ambas as tiras para as dobras iniciais, isto é dobrar a primeira ao meio e a segunda em três partes iguais.
(g)	Para que elas voltem a ficar do mesmo tamanho, aquela que foi dobrada ao meio será dobrada em três partes iguais e a que foi dobrada em três partes iguais será dobrada ao meio (sempre em relação ao maior lado).
(h)	Note que estão do mesmo tamanho. Abrindo ambas percebemos que em cada uma existem 6 dobras e que:
(i)	onde tínhamos ½ agora temos 3 de 6, 3/6;
(j)	onde tínhamos 1/3 agora temos 2 de 6, 2/6.
(k)	Colocando as tiras de costas uma para a outra reparamos que, em um lado temos 3 e no outro temos 2, assim, temos 5 retângulos marcados de 6. Conclusão: ½ + 1/3 = 5/6.

Quais conclusões podem ser tiradas de tais procedimentos? Coincidem ou não com a soma de frações? (Deixar que os alunos cheguem com suas respectivas conclusões!) 

a(b + c) = ab + ac e a(b – c) = ab - ac

Sabemos que qualquer número é ele próprio multiplicado pelo número 1. Sendo N o número, N = N x 1. Deste modo, um número N pode ser interpretado como a área de um retângulo de lados N e 1.
Vamos confeccionar algumas tiras (para facilitar, usaremos medidas inteiras).
•	A tira de medida a terá 1 cm x 4 cm (ou qualquer medida escolhida pelo usuário);
•	A tira de medida b terá 1 cm x 3 cm e
•	A tira de medida c terá 1 cm x 2 cm.
Obs.: A unidade pode ser qualquer valor, assim podemos confeccionar 1 unidade x 4 unidades (4 cm x 16 cm; 3 cm x 12 cm; etc.)
O que significa ab? Ora, ab significa um retângulo de lados a cm e b cm.
Deste modo, sabendo que ab = a + a + ... + a (b – vezes) = b + b + ... + b (a – vezes) ou fixamos a ou fixamos b.
Considerando uma tira de área b, vamos juntar tiras de medida a de modo que formemos um retângulo de área ab. Com mesmo raciocínio, formamos ac.
Para facilitar, vamos confeccionar um retângulo de área ab e outro de área ac. Ora, juntando temos ab + ac que equivale a um retângulo de medidas a e b + c. 
Daí, a(b + c) = ab + ac. 
Para justificar a(b – c) = ab – ac, basta colocar o retângulo de área ac sobre o retângulo de área ab, repare que temos um retângulo de medidas a e b – c...
Nota: da Orientação e Mobilidade (ou do Bom Senso) um aluno sabe que se ele andar em linha reta x passos e precisar retornar y passos (y < x) então ele está a x – y passos do ponto de partida.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 

Com o auxílio de papel no formato de um quadrado, medir três dedos (ou dois) de cima para baixo (ou de baixo para cima, que é a mesma coisa!) e mesma medida da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda).
	Marcando estas medidas e cortando o papel ficamos com quatro pedaços de papel: um pequeno quadrado, um quadrado grande e dois retângulos idênticos.
	Se considerarmos a como a medida dos dedos e b como a medida que sobrou, reparamos que o quadrado, antes de ser cortado tem lados de medida a + b e a área, a qual é o produto da base pela altura (não custa lembrar!), é (a + b)2. 
Ora, como ela é a junção dos quatro pedaços de áreas:
•	quadrado pequeno de lado a: área a2;
•	quadrado grande de lado b: área b2 e
•	retângulos de lados a e b: área ab, daí, 2ab (pois são dois).

Assim, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

a2 + b2 = c2.

É o teorema de Pitágoras. O que diz tal teorema? Com base nisso considere um papel no formato de um quadrado.
Vamos marcar alguns pontos, com medidas iguais a dois ou três dedos a partir de cada extremidade:
•	De cima para baixo, no lado esquerdo.
•	Da esquerda para a direita, na parte de baixo.
•	De baixo para cima, no lado direito.
•	Da direita para a esquerda, na parte de cima.

Considere b a medida dos dedos e a a medida restante. Com auxílio da régua, passando por dois pontos consecutivos e cortando a figura reparamos que foram formados quatro triângulos retângulos de catetos a e b e um quadrado. Seja c a medida do lado do quadrado.
	Como o papel inicial é a junção do quadrado com os quatro triângulos, que manipulados de maneira apropriada formam dois retângulos de lados a e b, temos: (a + b)² = c² + 2ab, onde (a + b)² é a área do quadrado inicial, c² é a área do quadrado e 2ab é a área dos dois retângulos (ou quatro triângulos).
Desenvolvendo, a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
Logo, c² = a² + b².

3.1.1.2. FAZENDO CONTAS DE CABEÇA

Como calcular, sem uso do sorobã, mas tendo noções das quatro operações básicas e dos resultados vistos anteriormente, 34 x 25?
Ora, tendo em mente que x(y + z) = xy + xz, podemos reescrever tal produto como 25 x (30 + 4) = 25 x 30 + 25 x 4 = 750 + 100 = 850.
Para tanto, convém lembrar que:
10c = 10 x 10 x ... x 10 (c – vezes), por exemplo: 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000.
b x 10c = b000...0 (o número b seguido de c zeros), exemplificando: 5 x 10² = 500.
0,a = a x 10 –1. Ex.: 0,7 = 7 x 10 –1
0,ab = ab x 10 –2. Ex.: 0,23 = 23 x 10-2, enfim, a quantidade de números após a vírgula implica na potência de 10 com expoente negativo.
Calcular 0,23 x 15.
Esqueça a vírgula (por enquanto!).
	Temos, 23 x 15 = 15 x (20 + 3) = 15 x 20 + 15 x 3  = 300 + 45 = 345.
Ora, com a vírgula, 23 x 10-2 x 15 = 23 x 15 x 10-2 = 345 x 10-2 = 3,45

Já para dividir, acrescentamos zeros. Com efeito, a  (b x 10-c) = (a  b) x 10c. Via definição, 1/ab = a-b.
Exemplo: 64  0,16 = 64  (16 x 10-2 ) = (64  16) x 102 = 4 x 102 = 400.
O que podemos concluir?

4. AVALIAÇÃO DO CURSO

	Elaborar e resolver situações-problema a partir do conhecimento das necessidades de alunos com deficiência visual bem como interpretar em uma linguagem acessível para todos os discentes (com ou sem deficiência visual) incluídos no sistema regular de ensino, textos envolvendo aplicações ou resultados da Matemática.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABBELLÁN, R. M. e Colab. Discapacidad visual: desenrollo, comunicación e intervención. Madri. Grupo Editorial Universitario, 2005.
BAUMEL, Roseli C. Rocha de C. et alli. Integrar e Incluir – desafio para a escola atual. FEUSP, 2001
BARBOSA, P. M. O Estudo da Geometria. Revista do Instituto Benjamin Constant, N° 23, pg 14 – 22, Rio de Janeiro: Agosto de 2003.
BICUDO, Maria A. V. (organizadora) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo, UNESP, 1999.
BRANDÃO, Jorge C. Geumetria = Eu + Geometria.  Revista do Instituto Benjamin Constant, N° 28, pg 16 – 21, Rio de Janeiro: Agosto de 2004. 
_____. Matemática e deficiência visual. São Paulo: Scortecci, 2006
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Temas Transversais. Brasília: MEC/SEF, 1998.
_____. Programa Nacional de apoio à educação de deficientes visuais:Orientação e Mobilidade – Projeto Ir e Vir. Brasília: MEC/SEE, 2002.
FLAVELL, John H.; MILLER, Patricia H. e MILLER, Scott A. Desenvolvimento cognitivo. 3 ed. Porto Alegre, Artmed, 1999.
GÂNDARA, Mari. A expressão corporal do deficiente visual. Campinas – SP, MEC, 1994.
MACHADO, Nilson J. Matemática e língua materna. São Paulo, Cortez: 1993.
SAMPAIO, Antonio L. e CHAVES, Sandra M. Jogos e teoremas de Matemática.             Sobral – Ce, FACIB, 2003. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo, Martins Fontes, 1988.