VIVENCIANDO POSSIBILIDADES DO USO DOS SOFTWARES EXCEL E WINPLOT  NA CONDUÇÃO DOS PROJETOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Leandro do Nascimento Diniz
Escola Técnica Estadual Luiz Navarro de Britto, Salvador, BA
lndiniz@gmail.com
Marcelo de Carvalho Borba
Unesp, campus de Rio Claro, SP
gpimem@rc.unesp.br

1. Introdução

Neste mini-curso, vamos propor que os professores-cursistas vivenciem a sinergia entre as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) e a Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. O Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM) tem desenvolvido pesquisas enfatizando essa harmonia (e.g. DINIZ, no prelo; MALHEIROS, 2004; MALHEIROS et al., 2005; BORBA et al., 1999; BORBA et al., 1997) na disciplina Matemática Aplicada. Ela é ministrada, pelo segundo autor deste artigo, há quinze anos para alunos ingressantes do Curso de Ciências Biológicas, na Universidade Estadual Paulista (Unesp), campus de Rio Claro. Nesta disciplina, o professor desenvolve duas abordagens pedagógicas: experimental-com-tecnologias e Projetos de Modelagem.
Na primeira, o professor convida os alunos para que, reunidos em grupos, discutam questões envolvendo os conteúdos matemáticos que fazem parte da disciplina. Por exemplo, uma questão refere-se à variação dos coeficientes da função f(x) = ax + b. Os alunos usam calculadoras gráficas (as quais possuem um software gráfico) para investigar o que ocorre quando variam seus coeficientes “a”, mantendo o coeficiente “b” constante (e vice-versa). Com isso, eles buscam a coordenação das representações tabular, gráfica e algébrica (BORBA, 1999; BORBA; VILLARREAL, 2005) nas suas investigações.
No ambiente dos Projetos de Modelagem, o professor convida os alunos para se reunirem em grupos para investigarem um tema qualquer, escolhido por eles. Os alunos entregam ao professor várias versões do relatório escrito do trabalho. Ele realiza a leitura e aponta sugestões e encaminhamentos para os alunos. Há também as reuniões em horário extra, em que os alunos agendam, com o professor, momentos para discussão do Projeto de Modelagem.
Após cerca de dois meses de pesquisas, os grupos fazem a apresentação oral do trabalho, em que novas sugestões são feitas pelo professor e pelos demais colegas, além de pessoas que estão assistindo, como membros do GPIMEM e alunos de Ciências Biológicas de anos anteriores. Após as apresentações orais, os membros os grupos têm cerca de um mês para entregarem a versão definitiva do relatório escrito.
Neste mini-curso, proporemos aos participantes a vivência de um dos Projetos de Modelagem desenvolvido no ano de 2005, com tema “Câncer de Próstata”. Os dados que serão discutidos foram coletados para uma pesquisa desenvolvida com duas turmas de Ciências Biológicas, na disciplina anteriormente mencionada, a qual é ministrada pelo mesmo professor, em que se investigou as maneiras que os alunos utilizam as TIC nos Projetos de Modelagem (DINIZ, no prelo).
 
1.1. O Projeto “Câncer de Próstata”

Esse grupo possuía quatro alunas, as quais encararam o desafio de pesquisarem sobre este tema, uma vez que, segundo elas, o Câncer de Mama possui muitas informações, o que não ocorre com o tema que escolheram. Existe também a questão do preconceito dos homens à realização do exame de toque.
As estudantes realizaram pesquisas em livros e na Internet. O grupo coletou dados sobre câncer de modo geral, países de maior incidência do câncer, dentre outros aspectos. Elas informaram que, no site do Instituto Nacional do Câncer (Inca), encontraram informações sobre a Taxa de Sobrevida, ou seja, a probabilidade que o homem tem de sobreviver após saber da doença e realizar o tratamento adequado. Neste ponto, consideramos adequado discutir com os professores-cursistas: “qual deve ser o posicionamento dos professores para o tratamento inicial destes dados estatísticos apresentados pelas alunas?”. Em seguida, apresentaremos o tratamento dos dados realizado pelas alunas, as quais plotaram no Excel um gráfico de barras.

Taxa de Sobrevida

Gráfico 1: Evolução (em décadas) do percentual de homens que sobrevivem após o tratamento do Câncer de Próstata (p. 10 – última versão do relatório escrito do grupo).

Indagações como: “que tipos de elementos podem ser explorados a partir desse tratamento inicial dos dados apresentado pelas alunas?” também podem ser discutidas. Esta é uma noção inicial para compreender o aspecto investigado, mas como ele se apresenta não é favorável para que fazer previsões do que pode ocorrer, caso o padrão de evolução do tratamento se mantenha inalterado. Assim, as alunas foram convidadas pelo primeiro autor deste artigo, numa reunião em horário extra, para encontrarem uma primeira aproximação (iniciando a simulação) da situação investigada. O primeiro modelo matemático que elas encontraram foi uma reta de equação y = x + 67, sendo “x” os anos (em décadas) e “y” a taxa de sobrevida.

y = x + 67

Taxa de Sobrevida

Porcentagem

Anos

Gráfico 2: Primeira aproximação para ajustar a curva que passa pelos pontos, sendo x = 0 correspondente ao ano de 1970, x = 10 o ano de 1980, e assim sucessivamente (slide 8 – apresentação oral do grupo).

Neste ponto, propomos aos professores experimentarem a construção deste modelo usando o Winplot. Questões que podem ser propostas para debate: “Está é a reta que melhor se ajusta aos pontos? Quais são os argumentos matemáticos e biológicos que podem ser colocados para refutarmos este modelo?”. Em seguida, apresentaremos o fato que as alunas refutaram esse primeiro modelo, uma vez que em 2010 ultrapassaria 100%, o que não teria sentido biológico.
O grupo apresentou essa tentativa para o professor. Ele sugeriu que as alunas estudassem no livro de Cálculo (HOFFMANN; BRADLEY, 2002) um modelo matemático denominado Curva Logística, para obterem uma melhor aproximação no ajuste da curva, o qual tem a representação algébrica:  (equação 1), sendo “A”, “B” e “k” constantes positivas. A função é monótona crescente, para todo     t  . O livro tem a informação que esse modelo tem sido usado, dentre outras situações, para representar a propagação de doenças. Há um ponto do gráfico que é realçado, que é o ponto de inflexão, cuja abscissa é: (equação 2).
Numa reunião em horário extra, as alunas nos procuraram para que pudéssemos discutir uma dúvida delas, pois não conseguiam solucionar. Inicialmente, elas foram explicando como calcularam os valores das incógnitas. Afirmaram que        B = 100, pois é a assíntota horizontal. Com os pontos (0,67) e (10,74), encontraram      A = 0,4925 e k = –0,3424.10–3. Deste modo, a lei de formação da Curva Logística encontrada pelas alunas foi  Com isso, elas plotaram essa função, nomeada de D, usando Winplot:

Taxa de Sobrevida

Anos

Porcentagem

D

C

 

Gráfico 3: Gráficos para ajuste de curves do modelo da Curva Logística (p. 12 – relatório escrito do grupo).

No relatório escrito, as alunas argumentaram os motivos que as levaram a considerar outra curva: “[...] [a curva D] [...] não é a melhor, pois para uma projeção para 2010 [x = 40], a probabilidade ficaria menor que a probabilidade de 2000 [x = 30]. Para corrigir esse erro, foi calculada uma nova função, com um novo valor de ‘k’.” (p. 12 – relatório escrito do grupo).
Assim, as estudantes encontraram uma nova lei de formação, considerando os pontos (0,67) e (20,91). Desta forma, mantiveram os valores para B = 100 e A = 0,4925, encontrando a expressão:  [equação 4]. Após obterem a fórmula do último gráfico construído (C), afirmaram que o melhor modelo seria uma função definida por duas sentenças. “A curva C por sua vez, também não é muito apropriada, já que para projeções anteriores, a probabilidade torna-se muito pequena. Logo, a melhor curva para representar a variação da taxa de sobrevida seria uma mistura das duas curvas.” (p. 12 – relatório escrito do grupo).
Aqui novas reflexões teóricas e vivencias com o software serão propostas e discutidas com os professores-cursistas. No segundo momento do mini-curso ocorrerá a discussão teórica que segue, articulada com as questões práticas da Modelagem como estratégia para a sala de aula de Matemática.

2. Discussão Teórica

Em pesquisas do grupo que fazemos parte (BORBA et al., 1997; MALHEIROS, 2004; DINIZ, no prelo), enfatizamos a importância da harmonia entre as atividades desenvolvidas na sala de aula e os Projetos de Modelagem. No caso das pesquisas investigadas pelo GPIMEM, a ênfase está nas atividades abertas e investigativas (tanto nos temas desenvolvidos nos Projetos de Modelagem como nas atividades com calculadoras gráficas, no caso que investigaremos no mini-curso).
Percebemos a moldagem das atividades com calculadoras nos Projetos de Modelagem, quando as alunas realizaram a primeira simulação baseando-se nas atividades com as calculadoras gráficas, uma vez que a função f(x) = x + 67 foi encontrada considerando os valores de “b” e “a” que melhor ajustasse os pontos.
Assim, buscando encontrar um modelo matemático que descrevesse melhor o aspecto analisado, as alunas estudaram e calcularam um novo modelo matemático, a partir da sugestão feita pelo professor da Curva Logística. Isto permitiria que um melhor ajuste da curva fosse feito, o qual foi validado pelas alunas alinhando aspectos matemáticos e biológicos. As estudantes realizaram o que Diniz (no prelo) nomeia de previsão positiva, ou seja, uma projeção para o futuro, o que criou condições para que tivesse um outro processo associado: a simulação positiva.
Esse tipo de simulação em Modelagem é destacado por Edward e Hansom (1990), uma vez que ela é feita, a partir de dados iniciais, para que se identificar procedimentos para encontrar novos valores. As alunas fizeram simulações, a partir de manipulações de variáveis e hipóteses (LÉVY, 2000). Isto possibilitou que elas pudessem obter previsões do que poderia acontecer com o fenômeno investigado.
Esse processo é permeado por elementos difíceis de serem enfrentados pelos professores: a escolha do tema é livre, o que inverte uma ordem do paradigma tradicional de prática de sala de aula, em que as atividades seguem basicamente o roteiro: definição, exemplos e exercícios. Com isso, os professores passam a experimentar a “[...] zona de risco, [...] [em que] é preciso avaliar constantemente as conseqüências das ações propostas.” (BORBA; PENTEADO, 2001, p. 55 – grifo dos autores).
Com isso, “[...] o professor pode se dar conta de que não consegue ser aquele que possui todo o conhecimento necessário para trabalhar com os alunos.” (BORBA; PENTEADO, 2001, p. 63). Para lidar com essa incerteza, foi criado no final de 2005 o Centro Virtual de Modelagem (CVM), que oferece um ambiente para que os professores troquem experiências de como a Modelagem pode ser utilizada. Com mais de um ano de funcionamento, este centro tem servido para que professores peçam sugestões de como lidar com a incerteza na sala de aula e também como lócus para que vários pesquisadores utilizem o ambiente para diversas pesquisas relacionadas à Modelagem e a ambientes virtuais.
Alguns membros do GPIMEM, em especial Marcelo C. Borba, Ana Paula Malheiros, Maria Helena Barbosa e Cindiane Pico, têm dado início à análise das diversas formas como o CVM é utilizado. Sendo assim, este grupo de pesquisa tem aberto mais uma frente de pesquisas envolvendo Modelagem e tecnologias, ajudando assim à compreensão de fenômenos envolvendo essas duas tendências em Educação Matemática.

3. Considerações Finais

Desde de meados da década de 90, Borba et al. (1997) já se perguntavam “qual o impacto das calculadoras na sala de aula?” e “Como eles [alunos] usam a calculadora gráfica nas suas modelagens?”. As respostas que vêm sendo apresentadas neste artigo, e em várias outras publicações de pesquisadores dedicados ao tema, e apontam para um papel das calculadoras e dos softwares de funções como “atores” não humanos que participam do processo de produção de conhecimento. Os softwares e as calculadoras gráficas permitem que estudantes cheguem a resultados utilizando tabelas e gráficos, e que outros coordenem essas representações com a álgebra. Essas tecnologias transformam os coletivos de seres-humanos-com-mídias (BORBA; VILLARREAL, 2005) e a produção matemática dos estudantes que fazem Modelagem (MALHEIROS, 2004). Softwares como esses deram novos contornos aos trabalhos, conforme novos exemplos apresentados aqui neste artigo. Desde 1997 para cá, a disponibilidade de interfaces gráficas tem aumentado bastante, e já não difícil encontrar alunos com acessos a softwares gráficos no início da universidade. Mas as mudanças aludidas, e a chegada da Internet, dentre outros fatores transformam a resposta às perguntas acima, e a extensão da própria indagação: como as TIC, em geral, influenciam a Modelagem? Neste artigo apresentamos resultados de pesquisas já concluídas sobre o tema, e também apontamos esboços de novas direções que a Internet vem dando a essa pesquisa. A Internet já transforma a prática dos estudantes em seus projetos de Modelagem há algum tempo, e mais recentemente, com a criação do CVM, poderá dar um salto de qualidade na forma como os professores podem trabalhar com Projetos em sala de aula.    

4. Referências

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
BORBA, M. C. Calculadoras gráficas no Brasil. In: FAINGUELERNT, E. K.; GOTTLIEB, F. C. (Org.). Calculadoras gráficas e Educação Matemática. Rio de Janeiro: Ed. Art Bureau, p. 15-34, 1999. Disponível em: <http://tidia-ae.usp.br>. Acesso em: 25 fev. 2007.
BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humans-with-Media and Reorganization of Mathematical Thinking: Information and Communication Technologies, Modeling, Visualization and Experimentation. New York: Springer Science+Business Media, Inc., 2005.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
BORBA, M. C.; MENEGHETTI, R. C.; HERMINI, H. Estabelecendo critérios para a avaliação do uso de Modelagem em sala de aula: estudo de um caso em um curso de Ciências Biológicas. In: FAINGUELERNT, E. K.; GOTTLIEB, F. C. (Org.). Calculadoras Gráficas e Educação Matemática. Rio de Janeiro: Ed. Art Bureau, p. 95-113, 1999.
BORBA, M. C.; MENEGHETTI, R. C. G.; HERMINI, H. A. Modelagem, calculadora gráfica e interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de ciências biológicas. Revista de Educação Matemática da SBEM-SP, [São José do Rio Preto], v. 5, n. 3, p. 63-70, 1997.
DINIZ, L. N. O papel das Tecnologias da Informação e Comunicação nos Projetos de Modelagem Matemática. No prelo. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. No prelo.
EDWARDS, D.; HAMSON, M. Guide to Mathematical Modelling. Boca Ratln: CRC Press, 1990.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso de moderno e suas aplicações. 7. ed. Traduzido por: R. S. de Biasi. Tradução de: Calculus for business, economics, and the social and life sciences. 1 ed.: 1986. Edição Brasileira: Rio de Janeiro: LTC, 2002.
LÉVY, P. Cibercultura. Traduzido por: Costa, C. I. Tradução de: Cyberculture. 2. ed. São Paulo: Editora 34, 2000.
MALHEIROS, A. P. S. A produção Matemática dos alunos em um ambiente de Modelagem. 2004. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2004.
MALHEIROS, A. P. S.; BORBA, M. C.; DINIZ, L. N. Doze anos de produção Matemática de estudantes de Biologia em um ambiente de Modelagem. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4., 2005, Feira de Santana. Anais... Feira de Santana: Universidade Estadual de Feira de Santana. 2005. 1 CD-ROM.