O USO DO SOFTWARE WINPLOT NA DISCUSSÃO DO GRÁFICO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS E O GRÁFICO DE SUA FUNÇÃO

Gisela Hernandes Gomes
Universidade Presbiteriana Mackenzie
giselah@mackenzie.com.br
Silmara Alexandra da Silva Vicente
Universidade Presbiteriana Mackenzie
silmara@mackenzie.com.br

Introdução

Diversas pesquisas na área de Educação Matemática vêm sendo realizadas em decorrência das dificuldades encontradas por alunos de graduação nas disciplinas referentes aos conteúdos básicos. Estes estudos apontam que os alunos não atingem seus propósitos e que as dificuldades encontradas se tornam fatores de grande reprovação e conseqüente desistência destas carreiras.
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das disciplinas básicas mais importantes para os cursos de Ciências Exatas e em especial os de Engenharia, possibilitando o estudo e a modelagem de problemas reais das mais diversas áreas de sua atuação profissional. Apesar de ser uma das mais tradicionais ainda é, muitas vezes, apresentada com ênfase nas técnicas operatórias ao invés da compreensão de conceitos, servindo como instrumento para a resolução dos problemas de Engenharia e não como um instrumento de análise que permite a formulação, a modelagem e a conseqüente resolução desses problemas.
Para Cury (2000) aprender os fundamentos dessa disciplina é obviamente diferente de memorizar definições, manipular fórmulas e aplicá-las em problemas padronizados.
No contexto brasileiro, instituições e associações vêm propiciando encontros e debates acerca do ensino da Engenharia, tais como as discussões e propostas da Reengenharia do Ensino da Engenharia (REENGE), do Programa de Modernização e Valorização das Engenharias (PROMOVE) e o Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia (COBENGE).
O objetivo desse trabalho é relatar uma experiência realizada com alunos de 1º semestre do curso de Engenharia Civil da Universidade Presbiteriana Mackenzie apresentando uma proposta metodológica para abordar a relação entre os sinais do gráfico da derivada de uma função f(x) e o gráfico dessa função utilizando uma tecnologia que permite a representação gráfica dessas funções.

As pesquisas realizadas sobre o conceito de derivada

Estudos referentes ao ensino do Cálculo têm sido destaque em diversas discussões e pesquisas da Educação Matemática; e pesquisadores têm apresentado trabalhos pertinentes e relevantes ao objeto de estudo desse trabalho.
Em 1992, Nemirovsky e Rubin estavam interessados nas causas de mudanças nos pensamentos dos estudantes sobre derivadas, especificamente as de uma função e sua derivada que possa não se assemelhar uma a outra, ao contrário da maioria das noções preconcebidas dos alunos. Eles trabalharam com estudantes de escola secundária que não tiveram contato com a disciplina de Cálculo. Os pesquisadores criaram três diferentes ambientes baseados em laboratórios com microcomputadores nos quais os alunos puderam explorar a relação entre uma função e sua derivada. As atividades envolveram: um sensor de movimento que produziu gráficos da posição e velocidade de um carro durante em um determinado intervalo de tempo; um sensor de fluxo de ar que produziu gráficos do volume de ar de um balão e a taxa de fluxo de ar no balão e a terceira envolveu integração numérica. Na análise das entrevistas realizadas, Nemirovsky e Rubin concluíram que os estudantes tendem a resolver problemas de predição entre uma função e sua derivada assumindo semelhanças parciais entre elas, principalmente em contextos físicos.
Villarreal (1999), pesquisadora associada ao Grupo de Pesquisa em Informática, Outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM), apresenta em sua tese de doutorado, compreensões sobre processos de pensamento matemático de estudantes de Cálculo Diferencial e Integral que trabalham em ambiente computacional, abordando questões matemáticas relacionadas ao conceito de derivada. Para a autora,
dentre as múltiplas potencialidades que o computador oferece para a Educação Matemática, poder-se-ia dizer que o processo de visualização por ele favorecido ocupa um lugar privilegiado. Ao mesmo tempo, a importância da visualização no ensino, aprendizagem e construção dos conceitos de Cálculo é indicada como fundamental por muitos autores. Assim, a visualização se transforma em um denominador comum nas pesquisas que relacionam Cálculo e computadores (VILLAREAL, 1999, p.43).
Embora o processo de visualizar esteja intimamente ligado aos trabalhos que envolvem ensino e computadores, para Frant (2002) a imagem não depende apenas da visualização, mas sobre tudo da linguagem que a constitui. No I Colóquio de História e Tecnologia no Ensino da Matemática (HTEM), Frant pôs em debate o papel do corpo e da tecnologia na cognição matemática apresentando um estudo de caso com alunos de licenciatura e analisando suas produções de significados quando envolvidos em atividades matemáticas com calculadoras gráficas e sensores CBR. Em especial, se deteve a olhar como professores e alunos de matemática constroem e interpretam gráficos de funções lineares que representam movimento.
Em julho de 2004, no 10º International Congress Mathematical Education (ICME) realizado na Dinamarca, o Topic Study Group 12, Pesquisa e Desenvolvimento no ensino e aprendizagem do Cálculo, trouxe para discussão e reflexão uma visão da evolução da prática e pesquisas sobre o ensino e aprendizagem do Cálculo. Além da reflexão, o grupo teve por objetivo iluminar futuras pesquisas sobre o ensino e aprendizagem do Cálculo e algumas perguntas nesse evento foram levantadas:
Qual é o papel da tecnologia no ensino do cálculo?
Como podemos caracterizar e categorizar os modos de usar novas tecnologias para ensinar cálculo e análise matemática mais profundamente? 
Como avaliamos o uso de novas tecnologias no aprendizado dos estudantes?
Diante desses e outros questionamentos, nossa experiência como docentes e pesquisadoras nos levou a elaborar uma atividade que pudesse propiciar a compreensão do conceito do gráfico da derivada de uma função e o gráfico dessa função usando o software Winplot. 

A atividade

A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I na Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie tem uma carga horária de 6 aulas (50 minutos cada aula) semanais e estão divididas em 4 aulas teóricas e 2 aulas teóricas-práticas. As aulas teóricas-práticas são trabalhadas com a metade da turma, ou seja, enquanto uma parte da turma está assistindo às aulas de Cálculo, a outra metade, pode, por exemplo, estar assistindo à aula de laboratório de Física. Essa divisão propicia um ambiente no qual o professor e aluno podem estabelecer uma relação mais próxima facilitando a detecção das dificuldades encontradas pelos alunos em determinados assuntos e promovendo a integração aluno/professor e aluno/aluno de tal forma que o aluno tenha mais espaço para a discussão dos conceitos vistos em aula. 
Os principais tópicos abordados nessa disciplina são: estudo das funções reais de uma variável real, limites, continuidade, derivadas e suas aplicações, integrais, primitivas, integral de Riemann e aplicações (cálculo de área e volume).
A atividade foi elaborada no 1º semestre de 2005 e aplicada a 36 alunos ingressantes do curso de Engenharia Civil no horário destinado à aula teórica-prática. Antes da aplicação dessa atividade foi abordada em aula a teoria relacionada à construção do gráfico de uma função através do estudo dos sinais da 1ª e 2ª derivadas dessa função. A importância do estudo desse tópico, em especial, se deve as futuras aplicações feitas pelos alunos do curso de Engenharia Civil que vão desde os problemas de otimização até os mais específicos da Mecânica dos Sólidos que abordam força cortante e momento fletor.
Após a explanação da teoria de como as derivadas influenciam na construção do gráfico de uma função, os alunos foram levados ao laboratório de informática e lhes foi apresentado o software Winplot. O primeiro contato teve como intuito explorar a ferramenta e verificar a digitação de funções na forma explícita.
Na aula seguinte, feita em classe, cada aluno deveria escolher uma função que envolvesse, pelo menos, a multiplicação ou a divisão de duas funções. Como por exemplo: f(x) = x2.senx ou f(x) = . A professora anotou a função dada por cada aluno e não poderia haver repetição de escolhas, coibindo dessa forma que um aluno fizesse e os outros copiassem.
A atividade consistiu em cada aluno esboçar o gráfico da função escolhida e o gráfico de sua derivada usando o Winplot. Depois de copiarem os gráficos para um editor de texto, cada aluno representou os sinais da derivada e o crescimento e decrescimento correspondente na função. Essa tarefa deveria ser feita em casa, ou nos laboratórios da Universidade, e entregues a professora após uma semana. Dessa forma, pudemos colher alguns resultados de como os alunos compreendem a relação do gráfico da derivada de uma função e o gráfico da função. Alguns trabalhos foram escolhidos para que possamos ilustrar a riqueza de informações.
Na Figura 1, a aluna 1 explorou os sinais da função derivada com seu respectivo crescimento e decrescimento na função f(x) = senx(x2 + x) + cos x, indicando com as flechas para cima e para baixo. Ela também se ateve aos pontos de máximos e mínimos da função escolhida, no qual, além de marcar uma reta tangente em cada um desses pontos, indicou o coeficiente angular dessa reta (m = 0). É interessante observar o fato da aluna relacionar com uma reta pontilhada, no sentido vertical, os pontos de máximos e mínimos aos pontos no qual a derivada equivale a zero.

Figura 1

O aluno 2 além de representar os intervalos na qual a função f(x) = x3cosx é crescente ou decrescente com a flecha para baixo e para cima, indicou o m negativo e positivo respectivamente aos intervalos da derivada com os sinais de menos e mais, como ilustrado na Figura 2. Essa indicação nos leva a acreditar que o fato do coeficiente angular da reta tangente ser negativo ou positivo, para esse aluno, está atrelado ao crescimento ou decrescimento da função.

Figura 2

O aluno 3 associou os intervalos de crescimento e decrescimento da função    f(x) = lnx.cosx com os sinais positivos e negativos de sua função derivada em cores distintas como ilustra a Figura 3.

Figura 3

O Winplot possui um recurso que pode nos fornecer o gráfico da função derivada sem digitarmos a sua respectiva função. Basta digitar a função desejada e no quadro inventário selecionarmos o botão “derivada”. Para escondermos a função digitada inicialmente clica-se no botão “mostrar gráfico” e ela fica escondida, aparecendo apenas o gráfico da função derivada.
Nota-se que o aluno 4, apesar de indicar os pontos de máximos e mínimos associados aos pontos do qual a primeira derivada vale zero e os sinais positivos e negativos da primeira derivada aos intervalos de crescimento e decrescimento da função, não digitou a função derivada para obter o gráfico, pois seu registro não condiz com o desenho da função, como ilustrado na Figura 4.

Figura 4

Conclusão

	O Winplot, como toda ferramenta computacional, propicia ao aluno a visualização gráfica e uma maior compreensão dos conceitos estudados em aula. 
Nessa atividade observamos que os alunos ao obterem o gráfico de uma função e o de sua derivada, fizeram a correspondência entre os sinais da função derivada e os intervalos de crescimento e decrescimento da função escolhida por eles. No decorrer do final do semestre, notamos que os alunos apresentaram uma compreensão maior do que em outros semestres quando abordamos os problemas de otimização.
No entanto vale ressaltar que apesar da vantagem visual do software, é necessário estarmos atentos às atividades de forma mais ampla, pois para o aluno 4 o uso do Winplot o ajudou a desenhar as funções sem mesmo saber derivar corretamente a função por ele escolhida. Ele soube comparar os gráficos, sem saber as regras de derivação.

Bibliografia

FRANT, J. B. Corpo, Tecnologia e Cognição Matemática. In: HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2, 2002, Rio de Janeiro. História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Editora IME-UERJ, 2002. p. 129-139. Disponível: <http://www.ime.uerj.br/~htem2/anaisihtem.pdf>. Acesso: fev. 2007.

NEMIROVSKY, R.; RUBIN, A. Students’ tendency to assume resemblances between a function and its derivative. TERC Communications, Cambridge, MA, 1992. Disponível: <http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/23/60/e0.pdf>. Acesso: fev. 2007.

VILLARREAL, M. E. O Pensamento Matemático de estudantes universitários de Cálculo e Tecnologias Informáticas. 1999. 402 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1999.