uma experiência com funções

Vera Helena Giusti de Souza – UNIBAN/SP e PUC/SP – verahg@brturbo.com.br
Tânia M. M. Campos – UNIBAN/SP – taniammcampos@hotmail.br
  
1. introdução
Trabalhamos, por pelo menos cinco anos, com um grupo de cinco professores de Matemática do Ensino Básico estadual de São Paulo, como parte do projeto de pesquisa “Os processos de ensino-aprendizagem na Escola Básica”, do qual faziam parte vários doutores e mestres, tanto em Matemática como em Educação Matemática. O citado grupo de professores reunia-se uma vez por semana, por um período de três horas, com professores orientadores do projeto, para discutir conteúdos e abordagens para os mais variados temas de Matemática que aparecem no Ensino Fundamental e/ou no Ensino Médio, tais como Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, frações, equações, semelhança. Quando o grupo iniciou a discussão do assunto funções, orientado por um dos orientadores do projeto, aplicamos uma dinâmica do tipo mapa conceitual em torno da palavra “função”. Nesta ocasião, os professores manifestaram-se com frases como (1) “Eu tenho pavor de gráficos ...”; (2) “Eu usualmente trabalho com a localização de pontos, do tipo batalha naval, para introduzir o assunto para os meus alunos,  ...”; (3) “Eu entendo quando a variável horizontal é t; se não é ... eu não consigo ver ...”; (4) “Eu faço imediatamente uma tabela de valores ...”; (5) “Os livros didáticos para o Ensino Básico não exploram os gráficos ...”; (6) “Eu só reconheço uma função quando ela é linear ou quadrática ...”. 
Se tivermos o cuidado de refletir sobre cada uma destas frases, podemos perguntar-nos: (1) o que é tão assustador nos gráficos? O fato de ser um objeto que precisa ser definido matematicamente? Será que os alunos não aceitariam um pouco do formal matemático?; (2) a batalha naval dá ao aluno a visualização da função como um todo, ou só mostra alguns pontos por onde passa o gráfico?; (3) por que a variável t, que é o tempo, é mais fácil? Por causa da idéia de movimento? Será que os alunos aprendem o significado da variável independente de uma função, se o professor sempre utilizar o x para nomeá-la?; (4) o que é que a tabela de valores nos dá de informação sobre uma função da qual já temos o registro algébrico? Será que os alunos, com esta abordagem baseada em tabelas de valores, vai conseguir generalizar e perceber que, dados três pontos no plano cartesiano, nem sempre o gráfico vai ser o de uma parábola ou o de uma reta?; (5) por que o livro didático não explora os gráficos em geral? Por que a separação tão grande entre as funções, presumivelmente esgotando primeiro o assunto função afim, depois função quadrática e nada mais? Hoje em dia temos softwares bastante amigáveis, que permitem que o professor leve para a sala de aula esboços gráficos os mais variados ou trabalhe com os alunos com um computador ou com uma calculadora; (6) o que a função afim e a função quadrática têm de tão especial, que merecem capítulos supostamente esgotantes sobre elas? Será que os alunos, depois de uma formação calcada só nestas duas funções, não irão repetir a frase do professor? E mais, na presença de um gráfico de f(x)=x3, dirão algo do tipo “... essa parábola aí ...”, apontando para o primeiro quadrante.
Esta nossa reflexão deixou entrever que, para eles, uma função era só um processo e não um objeto (Sfard, 1991; Sfard & Linchevski, 1994; Kieran, 1993) e que se encontravam em algum nível de condensação na passagem de “função como processo” para “função como objeto”. Sentimos então, muito fortemente, necessidade de mudar este quadro, pelo menos inicialmente, com este grupo de professores de Matemática, porque eles são responsáveis pela formação matemática de muitos jovens que freqüentam salas de aula do nosso Ensino Básico.
2. foco
Tornou-se um desafio, para nós, ajudá-los a avançar na fase de condensação e, se possível, fazê-los evoluir das fases de interiorização e condensação para a fase de reificação (Sfard, 1991), sobre o objeto função em Matemática. 
Para isto, elaboramos uma seqüência didática constituída de três atividades, utilizando os softwares Cabri-géomètre II e Graphmat, a fim de explorar fortemente o tratamento do registro gráfico e as conversões entre os registros gráfico, algébrico e da língua natural, à luz da Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval (1995).
3. quadro teórico
Para Sfard (1991) e Sfard & Linchevski (1994), existe uma dualidade, do tipo processo-objeto, inerente à maioria dos conceitos matemáticos. A partir desta hipótese, as pesquisadoras defendem o que chamam de Teoria da Reificação, segundo a qual a concepção operacional (como um processo orientado) emerge primeiro e evolue para uma concepção estrutural (como um objeto matemático), por meio da reificação dos processos. Esta evolução não é fácil, é lenta e se dá em três fases contínuas: interiorização, condensação e reificação.
Na fase de interiorização, o processo é realizado sobre objetos matemáticos familiares. Por exemplo, no caso de funções, usar alguns valores como entrada na “máquina da função”, para calcular os valores de saída. Quando sentimos necessidade de olhar para alguns valores específicos, como é o caso das tabelas, por exemplo, ainda estamos numa fase de interiorização. É exatamente o que fazemos, quando nos deparamos com alguns problemas pela primeira vez e queremos desenvolver algum tipo de raciocínio indutivo.
Na fase de condensação, o processo apresenta aspectos mais gerais, é condensado em unidades manipuláveis. No caso de funções, perceber por exemplo que: existe algo que entra na máquina e algo que sai, após a transformação; existe uma relação entrada-saída, que independe de valores específicos. Quanto mais somos capazes de trabalhar com uma função como um todo, mais avançado estamos no processo de condensação. Neste estágio, o aprendiz é capaz de investigar, desenhar gráficos, compor funções e até mesmo determinar a inversa de uma função.
Na fase de reificação, o processo transforma-se subitamente e solidifica-se em um objeto. No caso das funções, a reificação pode ser evidenciada pela habilidade de resolver problemas nos quais as funções são as incógnitas, como é o caso das equações com parâmetros ou das equações diferenciais.
Acreditamos que um professor de Matemática precisa ter uma visão global do que seja uma função, o que significa que precisa estar numa fase avançada da condensação, já muito próxima da reificação.
Quando conseguimos evoluir nas fases de interiorização, condensação e reificação, aprendemos a ver um objeto matemático como tal e não mais só como um processo. Uma das formas de conseguir isto, no nosso entender, é quando deixamos de confundir um objeto matemático com sua representação. Por esta razão, aceitamos como hipótese o que apregoa a Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval (1995, 2000), de que precisamos aprender a discriminar e a utilizar pelo menos dois sistemas de representação, um monofuncional (criado com um único objetivo, que poderíamos dizer universal, como é o sistema algébrico) e um não (como é o caso da língua natural). Para tanto, precisamos conhecer vários sistemas de representação, para sermos capazes de escolher os que interessam e, após a escolha, sabermos fazer o tratamento dos registros (dentro de um mesmo sistema) e as conversões (de um sistema para outro). Duval ainda defende a utilização de dois sistemas tais que a conversão de um para o outro não seja congruente, isto é, cada componente de um registro não se transforma necessariamente numa componente do outro (como é o caso entre a expressão algébrica de uma função e o gráfico dessa mesma função).
No caso das funções, para que possamos atingir o nível desejado de condensação e/ou de reificação, no desenvolvimento de “função como processo” para “função como objeto”, defendemos a utilização de três sistemas de representação: o algébrico, o gráfico e o da língua natural,. O algébrico, porque é o mais usual. O gráfico, porque particularmente acreditamos que possa favorecer a aprendizagem e ainda porque a conversão entre os registros gráfico e algébrico é não congruente. O da língua natural, porque, ao passar do registro algébrico para o registro gráfico, seria um caminho quase natural a passagem pela interpretação, em língua natural, do que está à nossa disposição, seja a expressão algébrica, seja o gráfico. 
A partir dessas premissas, usamos a Teoria das Representações Semióticas para estruturar as atividades de uma seqüência didática que elaboramos, sobre funções, com o intuito de ajudar um sujeito a evoluir nas fases de interiorização, condensação e reificação, no conteúdo função em Matemática.
4. metodologia e procedimentos metodológicos
Utilizamos, como metodologia, algumas das fases da engenharia didática (Michèle Artigue, 1995): pesquisa sobre as concepções prévias do grupo, elaboração de uma seqüência didática, aplicação da seqüência, análise dos resultados.
Estruturamos o trabalho de uma forma dinâmica, partindo dos problemas que eles mesmos diziam ter. Criamos uma seqüência didática com três atividades, que foram aplicadas em seis encontros semanais consecutivos, com duas horas e meia cada um. O trabalho foi desenvolvido preferencialmente em duplas, num ambiente informático, com o uso da dinamicidade promovida pelo software Cabri-géomètre II e cada dupla foi acompanhada por um observador. No início de cada sessão, fazíamos uma institucionalização, baseada nas dúvidas e nas perguntas que foram surgindo, tanto ao vivo como por meio dos protocolos e das observações, que eram recolhidos ao fim de cada sessão. Vale a pena observar que a variável “uso do ambiente informático” não nos preocupou, porque este grupo já estava acostumado a usar tanto o ambiente como o software.
A partir da análise a posteriori dos protocolos dos professores, pudemos fazer uma validação interna da seqüência, para verificar se os professores participantes do processo conseguiram evoluir na fase de condensação em que pareciam estar no início.
Para apresentar aqui algumas observações que pudemos fazer da análise desses protocolos, vamos discorrer um pouco sobre as três atividades propostas.
5. as atividades
A seqüência didática é composta de três atividades, cujos objetivos principais descrevemos a seguir.
•	Trabalhar o tratamento do registro gráfico e as conversões entre os registros algébrico, gráfico e da língua natural.
•	Estimular a visualização global dos gráficos, não como um conjunto de pontos com coordenadas numéricas, mas como uma trajetória sobre a qual podemos ver a relação entre as variáveis dependente e independente.
•	Mostrar a perda de informações que certamente ocorre quando fazemos a conversão da expressão algébrica de uma função para uma tabela de valores.
Escolhemos estes objetivos, porque consideramos alguns livros didáticos brasileiros, muito utilizados pelos professores e que: apresentam praticamente apenas o tratamento algébrico; estimulam a construção de tabelas de valores com quatro ou cinco pontos, a partir da expressão algébrica da função; abordam apenas dois tipos de funções, a afim e a quadrática, cada uma com um extenso capítulo, no qual são esgotadas as características próprias daquela função.
A construção das atividades fundamentou-se na existência de um conjunto de funções básicas (chamadas de referência), a partir das quais podemos criar outras funções, chamadas associadas. Em cada atividade, preferencialmente trabalhando em duplas, o professor podia usar o software Cabri-géomètre II para obter os gráficos das funções de referência ou das associadas, que já estavam à disposição no menu. Consideramos como funções de referência:  e como “funções associadas” as que podiam ser obtidas daquelas pelas operações “somar uma constante”, “multiplicar por uma constante”, “colocar o módulo” ora na variável independente, ora na dependente.
Os professores, então, precisavam responder às questões propostas, que envolviam o domínio, a imagem, a simetria do gráfico e a expressão algébrica, tanto das funções de referência, como das associadas. 
6. dados e resultados
Analisamos os protocolos dos professores, bem como as observações escritas, para tentar extrair que tipo de validação cada um deles usa para responder às questões propostas sobre os gráficos, porque acreditamos que a validação é um bom parâmetro para medir o nível de condensação e/ou reificação em que se encontra um sujeito. Classificamos quatro tipos de validação: (1) visual, se o professor conclui algo só olhando para o gráfico; (2) gráfica, se o professor usa alguma das ferramentas do software para visualizar o que está acontecendo; (3) numérica, se o professor produz algum tipo de cálculo numérico, como uma tabela de valores, uma substituição na expressão algébrica da função ou no gráfico; (4) algébrica, se o professor faz uma verificação formal, utilizando a expressão algébrica da função.
A partir dos textos dos protocolos e das observações escritas, pudemos perceber que a validação visual era e continuou sendo muito forte. Todos aceitaram, por exemplo, apenas olhando o gráfico, que este translada quando somamos uma constante a qualquer uma das variáveis. Nenhum deles procurou outro tipo de validação que não a visual. Dos sete professores, apenas três mostraram alguma preocupação oral com a validação gráfica, perguntando-nos se era possível, com o software, verificar a simetria, mas nenhum deles utilizou efetivamente alguma ferramenta do software. Um dos sete renega a ajuda do computador, faz validação numérica quase sempre e fala “Eu sempre faço uma tabela de valores no rascunho”. Pelo menos três deles tiveram grande dificuldade para fazer a conversão da língua natural para o registro algébrico, principalmente nos casos que envolviam a variável dependente, como por exemplo “somar uma constante à variável dependente” ou “colocar o módulo na variável dependente”. Nenhum deles fez qualquer tentativa de fazer uma validação algébrica, nos casos de simetria ou de imagem, embora tenham escrito as expressões algébricas correspondentes.
Qualquer pergunta envolvendo simetria foi problemática, porque não é usual e porque depende de uma visualização global. Dois deles “viram” que uma translação do gráfico não muda a simetria, mas não procuraram nenhum tipo de validação gráfica ou algébrica.
Todas as operações com módulo tiveram baixo índice de resposta. Quando perguntados sobre o significado do módulo, dois responderam “módulo é distância” e um respondeu “é positivo”, mas têm dificuldade para trabalhar com isto, de uma forma genérica. 
Eles aumentaram o universo individual de funções. Um deles diz: “Quando eu via uma função como , eu a entendia como uma função linear, porque o denominador o é. Agora eu sei que não é”. Outro diz: “Eu tenho ensinado só função linear e função quadrática. Agora eu vou tentar algumas outras”.
Todos aceitaram a variável independente como a que aparece no eixo horizontal no gráfico, independentemente do nome que receba, x, y, a, b ou t, até mesmo o professor que havia dito “Eu entendo quando a variável horizontal é t; se não ... eu não consigo ver ...” no início do trabalho com funções.
7. conclusão
A validação visual continua muito forte e nós não conseguimos quebrá-la completamente. Acreditamos que isto acontece porque o registro gráfico não era usual para eles até então. É necessário mais tempo e mais discussão sobre o assunto, de certa forma corroborando o que afirma Duval (1995, 2000) de que um sujeito só aprende a usar diversos sistemas de representação, usando-os. E o professor precisa dar aos alunos, em sala de aula, oportunidade e meios para que isto aconteça. 
Trazendo à discussão o foco que propusemos para este trabalho, “ajudar este grupo a avançar na fase de condensação e se possível evoluir das fases de interiorização e condensação para a fase de reificação no que diz respeito às funções em Matemática”, podemos dizer que, para este grupo e nestas condições, a introdução de uma nova ferramenta, como o computador, não ajudou a atingir o nível desejado de reificação, embora possamos dizer que a maioria deles atingiu um nível mais elevado de condensação. Por exemplo, quando admitem uma variedade maior de funções e não dizem mais “parábola” para qualquer gráfico que não é uma reta; quando reconhecem que  não é uma função afim só porque o denominador o é; quando aceitam uma função como um modelo matemático para alguma coisa, com variável independente que não seja o tempo; quando perguntam se é possível validar uma simetria usando ferramentas do software; quando dizem que vão usar funções trigonométricas e funções racionais com os alunos do Ensino Médio.
Podemos colocar algumas questões sobre o registro gráfico de funções: “ Por que é tão difícil quebrar a validação baseada só na visualização, mesmo entre professores?”; “Por que é tão difícil entender e interpretar um gráfico globalmente?”; “Será mesmo só uma questão de hábito?”.
 Acreditamos que é necessário tempo e discussão sobre o assunto função nos cursos de graduação para futuros professores de Matemática, porque eles precisam estar num certo nível de reificação, se vão trabalhar este assunto em sala de aula do Ensino Básico e sabemos, de pesquisas que já foram feitas, que a reificação é difícil de atingir, para a maioria das pessoas. A par disso, o tratamento do registro gráfico deve ser estimulado, assim como as conversões entre os registros gráfico, algébrico e da língua natural, porque elas não são nada espontâneas e precisam ser entendidas completamente.
8. referências bibliográficas
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DUVAL, Raymond. Basic issues for research in Mathematics Education. In: PME, 24, 2000, Hiroshima, Japan (Plenary address). Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Hiroshima, Japan: Hiroshima University, 2000. P. 55-69. 
DUVAL, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne, Suisse: Peter Lang, 1995. 400 p.
KIERAN, Carolyn. Functions, Graphing, and Technology: integrating research on learning and instruction. In: ROMBERG, Thomas A.; FENNEMA, Elizabeth; CARPENTER, Thomas P. (Org.). Integrating research on the graphical representation of functions. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 1993. P. 189-237.
SFARD, Anna; LINCHEVSKI, Liora. The gains and pitfalls of reification – the case of Algebra. Educational Studies in Mathematics, Netherlands, v. 26, n. 2-3, p. 191-228, março, 1994.
SFARD, Anna. On the dual nature of mathematical concepts: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, , v. 22, n. 1, p. 1-36, fevereiro, 1991.